Matematyka.pl

Jeden z pierwiastków trzeciego stopnia o współczynniku 1 przy najwyższej potędze zmiennej jest liczbą dodatnią, drugi jest liczbą do niej przeciwną, a trzeci pierwiastek jest dwukrotnością pierwszego. Wyznacz pierwiastki wielomianu, jeśli wiesz, że są one liczbami wymiernymi i W(3) = -5.

Doszłam do tego, że:

\(\displaystyle{ W(x) = (x-a)(x+a)(x-2a)}\)
\(\displaystyle{ a >0}\)

\(\displaystyle{ (3-a)(3+a)(3-2a)= -5}\)

Wiem, że teraz muszę skorzystać z tw. Bezouta, jak to zrobić?

Rozwiązać ostatnie ze względu na (a) (wymnożyć, itd)

Mam a=2.

Teraz to wszystko wymnóż, uporządkuj i znajdź pierwiastki wielomianu W(a). Dodam, że będzie otrzymasz tylko jedno rozwiązanie wymierne.

Wymnażałam, ale nie umiem rozłożyć tego wielomianu na czynniki.
Wychodzi
\(\displaystyle{ 2a ^{3} -3a ^{2} -18a+32=0}\)
I tu się zatrzymałam.
Skąd się wzięło 2? Proszę o wytłumaczenie

Ze schematu Hornera najłatwiej będzie.

No ale żeby podzielić schematem Hornera, muszę mieć dzielnik, czyli to moje 2, a to mam policzyć.

W odpowiedziach jest:
\(\displaystyle{ a=2 a= \frac{-1- \sqrt{129} }{4} a= \frac{-1+ \sqrt{129} }{4}}\)

I że pierwiastkami są liczby: \(\displaystyle{ 2, -2, 4.}\)
Ma ktoś pomysł, jak do tego dojść?

Pierwiastki miały być wymierne (patrz treść zadania), zatem tylko a = 2 to spełnia.

Co do rozwiązywania - to zgadywałem patrząc na 32 (pomimo dwójki na początku - patrz tw. o pierwiastku wymiernym wielomianu).