Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \overline z= z^{2}}\)

i nijak w cholere nie wychodzi mi wynik taki jaki powinien

\(\displaystyle{ \overline z = z^2 |\overline z|=|z|=|z|^2}\)

zatem

\(\displaystyle{ |z|=0}\) lub \(\displaystyle{ |z|=1}\)

Jedno z rozwiazan \(\displaystyle{ z=0}\), zatem dla znalezienia pozostalych rozpatrujemy przypadek:

\(\displaystyle{ |z|=1}\)

\(\displaystyle{ \overline z = z^2}\)

Rownowaznie:

\(\displaystyle{ 1=|z|^2=\overline z\cdot z = z^3}\).

Pozostale rozwiazania sa zatem pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ z^3-1}\), czyli pierwiastkami 3-go stopnia 1.

Mamy:

\(\displaystyle{ z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)}\)

skad jedne z pierwiastkow tego wielomianu to 1 a dwa pozostale spelniaja rownanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ z^2+z+1=0}\)

Rozwiazaniami tego rownania sa liczby:

\(\displaystyle{ \frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}}\).

Skad odpowiedz na pytanie w zadaniu:

\(\displaystyle{ \left\{0,1,\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}\right\}}\)

qrcze... próbuje zrozumieć i nie umiem .....
dlaczego zastosowalas moduly--czy w tego typu zadaniach zawsze sie tak robi ?

Jesli rozpatrujemy liczby i ich sprzezenia, to moduly czesto beda pomocne, bo np:

• \(\displaystyle{ z\cdot\overline z =|z|^2}\)
• \(\displaystyle{ |z|=|\overline z|}\)

czyli jak gdzies w zadaniu bede widzial \(\displaystyle{ \overline z* z}\) to moge za to wstawic modul z z do kwadratu ?

Jak najbardziej.
A oto dowód:
\(\displaystyle{ z \overline{z} = ft| z \right| ^{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ z=a+bi, \ a,b R}\)
\(\displaystyle{ (a+bi)(a-bi)=( \sqrt{a ^{2}+b ^{2}} ) ^{2}
\\ a ^{2}+b ^{2}=a ^{2}+b ^{2}}\)