Matematyka.pl

Ze zbioru {0, 1, 2, ..., 9} losujemy kolejno bez zwracania cztery cyfry \(\displaystyle{ a, b, c, d}\). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że:
a) wśród wylosowanych liczb jest szóstka?
b) \(\displaystyle{ a}\) jest największą z wylosowanych cyfr?
c) ciąg \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) jest rosnący?

a) \(\displaystyle{ \Omega=10 9 8 7}\)
\(\displaystyle{ \left| A \right| = 4 9 8 7}\) - ustawiasz 6 na kolejnych miejscach (a,b,c,d)

b) zauważ, że cztery różne cyfry możemy uporządkować na \(\displaystyle{ 4 3 2 1}\) sposobów. Jeśli a jest największe, to pozostałe cyfry możemy ustawić na \(\displaystyle{ 3 2 1}\) Zatem \(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{4}}\)

a) \(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = \frac{10!}{(10-4)!} = 10 9 8 7 = 5040}\)
\(\displaystyle{ \left| A\right| = 4 \frac{9!}{(9-3)!}=4 9 8 7}\) - wybieramy na 4 sposoby miejsce w ciągu dla 6 i wolne miejsca zapełniamy pozostałymi do dyspozycji cyframi

\(\displaystyle{ P(A)=2/5}\)

b) \(\displaystyle{ \Omega}\) - nie zmienia się (podobnie w podpukcie c))
\(\displaystyle{ \left| B\right| = V^{0}_{3}+V^{1}_{4}+V^{2}_{5}+V^{3}_{6}+V^{4}_{7}+V^{5}_{8}+V^{6}_{9} = 3+24+60+120+210+336+504=1257}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{1257}{5040} 0,2494}\)

w zasadzie jednak chodziło mi najbardziej o rozwiązanie 3. części zadania i, ewentualnie, uproszczenie powyższej 2. części

c) Po wylosowaniu 4 (dowolnych) cyfr ciąg rosnący możesz uzyskać z nich tylko na jeden sposób. Wszystkich ustawień tych cyfr jest 4!, zatem p=1/24. Bardziej formalnie można tego dowieść z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

W b) masz błąd, bo \(\displaystyle{ V_{3}^{0}=6}\). Po jego poprawieniu otrzymasz wynik jaki przedstawił Flawiusz.