Matematyka.pl

Witam
jak udowodnic indukcyjnie ze w kazdym wierszu trojkąta pascala suma liczb jest rowna potedze 2 ?

doszedłem do momentu ze

\(\displaystyle{ 2^k= \sum_{i=0}^{k+1}{k+1\choose i}- \sum_{i=0}^{k} {k\choose i}}\)


co jest własciwie juz prawie koncem tego dowodu, ale nie wiem jak udowodnic to rownanie
bede wdzeczny za pomoc

W drugim kroku indukcyjnym mamy:

Założenie: \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k} {k\choose i} = 2^k}\)
Teza:\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k+1}{k+1\choose i}= 2^{k+1}}\)

Mamy:

\(\displaystyle{ L = 1 + 1 + \sum_{i=1}^{k}{k+1\choose i}
= 1 + 1 + \sum_{i=1}^{k} ft( {k \choose i-1} + {k \choose i} \right) = \\ =
{k \choose k} + {k \choose 0} + \sum_{i=1}^{k} {k \choose i-1} +
\sum_{i=1}^{k} {k \choose i} =
\sum_{i=1}^{k+1} {k \choose i-1} + \sum_{i=0}^{k} {k \choose i} = \\ =
2 \sum_{i=0}^{k} {k \choose i} = 2 2^k = 2^{k+1} = P}\)

(pierwsza równość to wyłączenie skrajnych wyrazów z sumy, druga to skorzystanie z własności trójkąta Pascala, trzecia to rozbicie jednej sumy na dwie i zamiana jedynek na to co nam pasuje, czwarta równość to wciągnięcie tego co nam pasowało pod znak sum, piąta to zauważenie, że obie sumy to to samo i szósta to skorzystanie z założenia indukcyjnego)

Q.

Qń jak uwowodnić wykorzystaną w rozwiązaniu działanie?
tzn.
\(\displaystyle{ {k+1\choose i}= \left( {k \choose i-1} + {k \choose i} \right)}\)

"Działanie" ma rodzaj nijaki. A poza tym to nie jest działanie, tylko równość, tożsamość. Działaniem jest np. dodawanie.
Można się posłużyć interpretacją kombinatoryczną: masz zbiór \(\displaystyle{ k+1}\) członków Loży Pelikana nad Wschodzącym Słońcem Syjonu i chcesz przesłuchać \(\displaystyle{ i}\) spośród nich. No to możesz np.
albo zdecydować, że chcesz przesłuchać Wielkiego Mistrza oraz \(\displaystyle{ i-1}\) spośród \(\displaystyle{ k}\) pozostałych członków, albo zostawić w spokoju mistrza i w związku z tym wybrać \(\displaystyle{ i}\) spośród \(\displaystyle{ k}\) pozostałych członków.

równość*