Matematyka.pl

Cześć,
Mam takie pytanie: czy jest możliwość wyprowadzenia jakiegoś wzoru/znalezienie zależności na wspólne wyrazy danego ciągu arytmetycznego ?
Może na przykładzie:
Ciag 1.:
\(\displaystyle{ a_{1}=2}\)
\(\displaystyle{ r=3}\)

Ciag 2.:
\(\displaystyle{ a_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ r=4}\)

I teraz tak, pierwsze wyrazy ciągu 1.:
2,5,8,11,14,17,20,,23,26,29,32,35,...
ciagu 2.:
1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,...

i wspólne wyrazy ciągu to 5,17,29,...
Jakwidać jest to wyraz drugi, drugi+4 itd...
Ale czy da się to jakoś uogólnić, tzn żeby można było podać taką zależność mając określony ciąg arytmetyczny, albo np stwierdzić, że w ogóle nie będzie wspólnych wyrazów?
Jeszcze dodam, że r będzie zawsze > 0.

Jezeli pierwszy ciag to A[n]=A0+(n-1)p
a drugi to B[n]=B0+(n-1)q
to znalezienie wyrazow wspolnych sprowadza sie czy istnieja takie n1 i n2 ze
A[n1]=B[n2] mamy wtedy A0+(n1-1)p=B0+(n2-1)q. Rozwiazaniem rownania ze wzgledu na n2 jest
n2-1=[A0-B0 +(n1-1)p]/q czyli n2=[A0-B0+q +(n1-1)p]/q
Jezeli tak obliczone n2 dla danego n1 jest liczba naturalna to wyrazy A[n1] i B[n2] sa rowne
Najlatwiej od razu podstawic K=(A0-B0+q-p)/q, M=p/q ,wtedy
n2=M*(n1)+K
Metoda "brute force" nalezaloby zbadac wszystkie n1 i zobaczyc czy dany n2 jest naturalny
Mozna jednak przeanalizowac wspolczynniki K i M
Jezeli M lub K sa niewymierne to prawdopodobnie nie znajdziemy wiecej niz 1 rownosci
gdyz liczba niewymierna M wzieta n1 krotnie da nam liczbe niewymierna, ktora zniwelowac moze tylko liczba niewymierna lecz z przeciwnym znakiem.Wyplywa ztad wniosek (oczywiscie to wszystko moja teoria ) ze zajdzie to gdy n2=0 czyli
a) dla niewymiernych K lub M mamy 1 przypadek jezeli dla n2=0 zajdzie rownosc
w przeciwnym razie 0

b)dla K i M calkowitych, no coz trzeba przeanalizowac funkcje n2=M*(n1)+K

[ Dodano: Nie Lis 27, 2005 3:39 pm ]
przeksztalcajac dalej :
n2=(p/q)*(n1-1)+(A1-B1)/q +1
widac ze aby n2 bylo naturalne wyrazenie
X(n-1)=(p/q)*(n1-1)+(A1-B1)/q+1 musi byc calkowite ( gdzie X jest funkcja)
Zalozmy ze p/qq nie ma sensu sprawdzac gdyz bedzie to ta sama sytuacja powiekszona o pewna stala liczbe C
zatem warunek ,aby istnialy wyrazy wspolne to np

int z=0,*a;
for (i=0;i