Równanie różniczkowe o zm rozdzielonych
: 15 lis 2008, o 15:22
\(\displaystyle{ tgx sin^{2}y+cos^{2}xctgy \frac{dy}{dx}=0}\)
-- Proszę o komentarze do jakości przedstawionego rozwiązania zadania na PW --
Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
\(\displaystyle{ f(y) \mbox{d}y=g(x) \mbox{d}x,\quad f\in C_{[a,b]}, g\in C_{[c,d]}}\)
\(\displaystyle{ \tg{x}\sin^{2}{y}+\cos^{2}{x}\ctg{y} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=0.\quad (1)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (1)}\) po sprowadzeniu do równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{\cos{y}}{\sin^{3}{y}} \mbox{d}y=-\frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}} \mbox{d}x,}\)
\(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}, y\neq l\pi, l\in\mathbb{Z}.\quad (2)}\)
Całkując \(\displaystyle{ (2)}\) względem tej zmiennej, która po tej stronie występuję, mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sin^{2}{y}}=-\frac{1}{2\cos^{2}{x}}+C, C\in\mathbb{R}.\quad (3)}\)