Matematyka.pl

W worku znajduja sie trzy monety, jedna z nich jest symetryczna za dla pozostalych dwoch prawdopodobienstwo wyrzucenia orla wynosza odpowiednio 0,25 i 0,75. Losujemy jenda monete i rzucamy nia 2 razy. W obu rzutach wypada reszka. Jakie jest prawdopodobienstwo ze rzucalismy moneta niesymetryczna?

Oznaczam monety: S - symetryczna, NS1 - niesymetryczna z p-stwem orła 0.25, NS2 - niesymetryczna z p-stwem orła 0.75.

\(\displaystyle{ P(2R|S)=\frac{1}{4}\ \ \ i\ \ \ P(S)=\frac{1}{3}\\
P(2R|NS1)=\frac{9}{16}\ \ \ i\ \ \ P(NS1)=\frac{1}{3}\\
P(2R|NS2)=\frac{1}{16}\ \ \ i\ \ \ P(NS2)=\frac{1}{3}}\)

Skorzystam teraz ze wzoru Bayesa i z własności zdarzeń przeciwnych:


\(\displaystyle{ P(S|2R)=\frac{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{9}{16}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{3}}=\frac{4}{14}}\)

W takim razie prawdopodobieństwo tego, że była niesymetryczna, jest równe:

\(\displaystyle{ P(NS1vNS2|2R)=1-P(S|2R)=\frac{10}{14}}\)