Matematyka.pl

Mam pytanie: Czy można obliczyć taką granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(\frac{n-1}{n+3})^{2n+1}}\)

przez "rozbicie" wyrażenia na licznik i mianownik, tak jak to przedstawiłem.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{(1-\frac{1}{n})^{2n+1}}{(1+\frac{3}{n})^{2n+1}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{((1+\frac{1}{-n})^{-n})^{-2}\,*\,(1-\frac{1}{n})}{((1+\frac{1}{n})^{n})^{2}\,*\,(1-\frac{3}{n})}}\)

po wyliczeniu wychodzi \(\displaystyle{ \frac{e^{-2}}{e^{6}}}\)
czyli \(\displaystyle{ e^{-8}}\)

Czy trzeba się męczyć i wyznaczać z całości wyrażenie typu:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}}\)

Jest ok ale nieco długie:]

A tak to po jednym kroku wystarczy wyliczyc granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{-8n-4}{n+3}}\)
i dostajesz:
\(\displaystyle{ e^{-8}}\)

troszke obszerniej....
\(\displaystyle{ a_n=(\frac{n-1}{n+3})^{2n+1}=(1+\frac{n-1}{n+3}-1)^{2n+1}=(1+\frac{-4}{n+3})^{2n+1}\\\lim_{n\to\infty}a_n=e^w}\)
gdzie \(\displaystyle{ w=\lim_{n\to\infty}\frac{-4}{n+3}\cdot(2n+1)=\lim_{n\to\infty}=\frac{-8n-4}{n+3}=-8}\)
czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{n-1}{n+3})^{2n+1}=e^{-8}}\)

Dzięki za skrócony opis liczenia,ale chce tylko wiedzieć czy ten sposób liczenia jest poprawny? Mi akurat ta metoda najbardziej pasuje,tylko nie wiem czy jest poprawna "matematycznie". Bo jutro mam kolokwium i nie wiem czy moge taki typ zadań robić w ten sposób. Wykładowca podawał inny,wiec sam już nie wiem. Dzięki za wszystkie odpowiedzi.

sposob liczenia jest jak najbardziej poprawny.

Dzięki za potwierdzenie. Od razu lżej:))))