Matematyka.pl

Witam.
Jaki jest wzór do obliczania \(\displaystyle{ (f(x)^{g(x)})'}\) gdzie obie funkcje są różniczkowalne?
Proszę o wyprowadzenie.

I jeszcze jedno pytanie, dlaczego \(\displaystyle{ x=e^{lnx}}\)?
Także proszę o wyprowadzenie skąd się to wzięło.

Pozdrawiam.

witam

methadone pisze:jeszcze jedno pytanie, dlaczego x=e^{lnx}?

bless

1) Prosiłbym o dowód tego, że
\(\displaystyle{ (f(x)^{g(x)})' = f(x)^{g(x)} ft({f'(x)g(x) \over f(x)} + g'(x)\ln f(x) \right)\quad}}\)

2) Mamy przykład \(\displaystyle{ x^{x}}\) Trzeba policzyć pochodną.
W podręcznikach podstawiają \(\displaystyle{ x=e^{lnx}}\)

\(\displaystyle{ (x^{x})'=e^{xlnx}(lnx+1)}\)
i dlaczego to się równa \(\displaystyle{ e^{xlnx}(lnx + 1)}\) ... \(\displaystyle{ (=x^{x}(lnx +1})}\)?
Wychodzi na to, że jest to \(\displaystyle{ e^{xlnx}(xlnx)'}\)
to tak przez przypadek wyszło? [w sensie, że w nawiasie mamy pochodną z wykładnika, czyli że pochodna tej funkcji do iloczyn funkcji przez pochodną wykładnika.. przypadek szczególny?]

Nie rozumiem tego przykładu, dlaczego stosuje się te podstawienie i dlaczego wychodzi taka pochodna. Dlatego pytałem o wzór ogólny do obliczania pochodnej z \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}}\)

Proszę o wytłumaczenie

[ Dodano: 12 Listopada 2008, 21:09 ]
Z jakich funkcji podstawowych składa się funkcja złożona \(\displaystyle{ x^{x}}\) ?
Bo próbuję sobie sap to wyprowadzić z reguły łańcuchowej ;[

Czy to ma być tak, że:
\(\displaystyle{ (x^{x})' = (e^{xlnx})'(xlnx)'}\) ?
a że \(\displaystyle{ (e^{x})' = e^x}\) to
\(\displaystyle{ (x^{x})' = e^{xlnx}(xlnx)'}\)

co daje oczekiwany wynik.

dobrze myślę?

1. polecam zapoznać się z pochodną logarytmiczną.

\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}}\)

logarytmujemy:

\(\displaystyle{ \ln f(x)^{g(x)} = g(x) \ln f(x)}\)

różniczkujemy obustronnie powyższe równanie korzystając z pochodnej funkcji złożonej oraz wzoru na pochodną iloczynu i wyznaczamy z równania
\(\displaystyle{ (f(x)^{g(x)})'}\)
które pojawi się po lewej stronie