Matematyka.pl

Trzba zbadać, czy różnica piątych potęg dwóch liczb pierwszych jest także liczbą pierwszą.

\(\displaystyle{ ( a^{5} - b^{5} ) P}\)

rozumiem, że trzeba rozdzielić to na iloczyn dwóch nawiasów, i powinno wyjść, że jeden jest zawsze równy 1, znajoma podrzuciła mi taki wzorek, niby się zgadza, ale jak to dalej pociągnąć niestety nie mam pojęcia:

\(\displaystyle{ a^{5} - b^{5} = (a-b)*(a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} +b^{4})=...}\)

pls hlp.

Dalej już łatwo, jeśli \(\displaystyle{ a-b\not = 1}\) to oba czynniki są większe od 1 i dlatego liczba ta nie jest liczbą pierwszą. Jeśli zaś \(\displaystyle{ a-b=1}\) to trzeba zbadać, co wyjdzie w tym drugim nawiasie. Dla 3=a i 2=b 3^5-2^5=243-32=211 i jest to liczba pierwsza.

hmm, dobra, nagłe olśnienie

Wystarczy wziąć a i b takie, że a-b=/=1, stąd pierwszy nawias będzie dzielił liczbę. Drugi nawias nigdy nie przyjmuje wartości 1 => czyli ta liczba nie jest liczbą pierwszą

można temat zamknąć/wyrzucić, ew. pozostawić dla innych.
Pozdr.

Edit: olśnienie się troche spóźniło thx for hlp

Dla a-b=1 pierwszy nawias też dzieli liczbę.

Pozdrawiam,
Soliter

Fakt, trzeba by zaznaczyć, że gdy a>b, to ten nawias jest różny od jedynki i dzieli tą liczbę. Chodzi mi o to, że nie jest liczbą pierwszą w ogólności.
pozdr.

dudi_pl pisze:gdy a>b, to ten nawias jest różny od jedynki i dzieli tą liczbę.

Nieprawda, dla a=3 i b=2 (a>b) ów nawias różny od jedynki nie jest. W dodatku ten nawias zawsze dzieli tą liczbę. Tak naprawdę nabijam się trochę z Twojej nieścisłości

ehh..

problemem jest tylko wyprowadzić ten wzór.. ktoś wie jakim sposobem or sth?

dudi_pl pisze:\(\displaystyle{ a^{5} - b^{5} = (a-b)*(a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} +b^{4})}\)

Mówisz o tym wzorze? Przemnóż wszystko a zobaczysz, że lewa strona równa się prawej ; )
Ewentualnie możesz też spróbować indukcyjnie.

Wzór ten wyprowadza się, korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona - żadne tam olśnienie i dowodzenie przez indukcję.

Mógłbyś mi pokazać, jak to wykazać za pomocą wzoru dwumianowego Newtona? Najłatwiej jest trochę pododawać, poodejmować i wyłączyć a-b przed nawias, jak to jest przedstawione chyba w większości podręczników.

Z największą przyjemnością, szczególnie, że sam to wymyśliłem (znaczy, bez niczyjej pomocy i inspiracji, podobnież jak rozłożenie sumy kwadratów w rzeczywistych na iloczyn ).

\(\displaystyle{ (a-b)^{5} = a^{5} - 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} - 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} - b^{5} \\ a^{5}-b^{5} = (a-b)^{5} + 5a^{4}b - 5ab^{4} - 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3}= (a-b)^{5} + 5ab(a^{3}-b^{3}) - 10a^{2}b^{2}(a-b) = (a-b)^{5} + 5ab(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) - 10a^{2}b^{2}(a-b) = \\ (a-b)((a-b)^{4} + 5ab(a^{2}+ab+b^{2}) - 10a^{2}b^{2})}\)

No i niniejszym rozłożone . Podobnież robi się dla sumy.