Matematyka.pl

1) Tarcza wiruje z prędkością w(kątową). Współczynnik tarcia = f . Oblicz odległość r_max w jakiej klocek pozostanie na tarczy .
2) Ciało o m=10kg podniesiono na 10 m z przyspieszeniem a=2m/s. Oblicz wykonaną pracę.
4) Z tej samej wysokości rzucono pionowo dwa ciała z prędkoscią początkowąV_0
- jedno w górę, drugie w dół. Z jaką prędkością oddalają się ciała od siebie??
5) Z wysokości h upuszczono na ziemię kulkę, a równocześnie, a równocześnie z ziemi wyrzucono pionowo drugą kulkę, nadając jej prędkość początkową konieczną do osiągnięcia wysokości h. Na jakiej wysokości miną się te kulki??
6) Ciało swobodnie spadające przebyło drogę „s” w czasie”t”. W jakim czasie przebędzie następny taki odcinek??
7) Na wysokości 100m n p m rakieta uzyskała przyśpieszenie a=g skierowane równolegle do poziomu. Oblicz zasięg rakiety oraz drogę jaką pokona do chwili zetkniecia z powierzchnią Ziemi.
8) Ciało rzucone poziomo z wysokości „h” równej zasięgowi . Znaleźć prędkość początkową oraz kąt jaki tworzy wektor prędkości ciała z poziomem.
9) Ciało zsuwa się (bez tarcia ) z równi o długości 10m i kącie nachylenia 30°. Obliczyć czas zsuwania się ciała i prędkość średnią.
10) Na klocek o masie 10 kg działa siła 100n skierowana w dół pod kątem 30°. Obliczyć siłę nacisku.
Na klocek działa siła 100N skierowana w górę pod pewnym kątem oraz siła 50 N skierowana poziomo o zwrocie przeciwnym . Obliczyć ten kąt jeśli klocek pozostaje w spoczynku.
Prosiłbym o wyprowadzenie wzorków z góry dzięki.

Jutro dokoncze, uwaga w pierwszym prawdopodobnie jest blad, dzisiaj jestem spiacy jutro to sprawdze.


Zadania robie kolejno, edytujac ten topic:

1:
Przede wszystkim zadanie jest troche niescisle (chyba, ale moge sie mylic), poniewaz brakuje jednej zmiennej (prawdopodobnie masy):

\(\displaystyle{ T_{k} = fN}\)
\(\displaystyle{ N = mg}\)
\(\displaystyle{ T_{k} = fmg}\)

\(\displaystyle{ v = \omega r}\)

Poniewaz tarcie ma przeciwny zwrot do predkosci:

\(\displaystyle{ \omega r = fmg}\)
\(\displaystyle{ r = \frac{fmg}{\omega}}\)

2:

\(\displaystyle{ a = \frac{F}{m} F = am}\)
\(\displaystyle{ W = F\Delta S}\)
\(\displaystyle{ W = amH}\)
\(\displaystyle{ W = 200[J]}\)

4:

\(\displaystyle{ v = v_{1} + v_{2}}\)
\(\displaystyle{ v_{1} = v_{0} + gt v_{2} = v_{0} - gt}\)
\(\displaystyle{ v = v_{0} + gt + v_{0} - gt}\)
\(\displaystyle{ v = 2v_{0}}\)

5:

Na poczatku obliczmy predkosc poczatkowa niezbedna do osiagniecia wysokosci H, ktora jest rowna maksymalnej predkosci ciala swobodnie spadajacego:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}v_{0} = -gt\\H = -\frac{gt^2}{2}\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ t = -\sqrt[2]{\frac{2H}{g}}}\)
\(\displaystyle{ v_{0} = g\sqrt[2]{\frac{2H}{g}}}\)
\(\displaystyle{ v_{0} = \sqrt[2]{2gH}}\)

Podstawiajac v poczatkowe do wzoru na predkosc mamy :

\(\displaystyle{ v = \sqrt[2]{2gH} - gt}\)

W momencie spotkania predkosc obu cial jest jednakowa (z przeciwnym zwrotem), dlatego mozna zapisac:

\(\displaystyle{ \sqrt[2]{2gH} - gt = gt}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{\sqrt[2]{2gH}}{2g}}\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt[2]{\frac{H}{2g}}}\)

Obliczylismy czas, w ktorym oba ciala sie spotkaja, podstawiajac to do wzoru na droge mamy :

Dla dolnego:
\(\displaystyle{ x_{1} = \sqrt[2]{2gH} * \sqrt[2]{\frac{H}{2g}} - \frac{gH}{4g}}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = H - \frac{gH}{4g} = H - \frac{1}{4}H = \frac{3}{4}H}\)

Analogicznie w tym samym czasie drugie cialo przebedzie droge \(\displaystyle{ \frac{1}{4}H}\)

6:

W ruchu przyspieszonym droga przebyta przez cialo w kolejnych sekundach ruchu jest proporcjonalna. Dla kolejnych sekund cialo przebedzie proporcjonalnie nastepujace odcinki drogi:

\(\displaystyle{ 1:3:5:7:9:12...}\)

Zatem dla \(\displaystyle{ t}\) sekund cialo przebedzie \(\displaystyle{ 3}\) razy mniejsza droge, niz w ciagu kolejnych \(\displaystyle{ t}\) sekund.

Wniosek:

Aby cialo przebylo taka sama droge, potrzebuje \(\displaystyle{ 3}\) razy mniej czasu.

7:

Najpierw obliczmy czas, po jakim rakieta spadnie:

\(\displaystyle{ h = \frac{gt^2}{2} t = \sqrt[2]{\frac{2hg}{g}}}\)

Podstawiajac to do wzoru na ruch poziomy:

\(\displaystyle{ x = \frac{gt^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2hg}{2g}}\)
\(\displaystyle{ x = h}\)
\(\displaystyle{ x = 100[m]}\)

8:

Aby to zadanie obliczyc tradycyjnie wyznaczamy czas ze spadania swobodnego:

\(\displaystyle{ y = \frac{gt^2}{2} t = \sqrt[2]{\frac{2y}{g}}}\)

Podstawiajac to do wzoru na droge w ruchu poziomym mamy:

\(\displaystyle{ x = v_{0}t}\)
\(\displaystyle{ y = x}\)
\(\displaystyle{ v_{0} = \frac{y}{t}}\)
\(\displaystyle{ v_{0} = \frac{y}{\sqrt[2]{\frac{2y}{g}}}}\)
\(\displaystyle{ v_{0} = \frac{\sqrt[2]{g}y}{\sqrt{2y}}}\)
\(\displaystyle{ v_{0} = \frac{\sqrt[2]{2gy}y}{2y}}\)
\(\displaystyle{ v_{0} = \frac{\sqrt[2]{2gy}}{2}}\)

Aby obliczyc predkosc w chwili, gdy cialo znalazlo sie na ziemii musimy obliczyc \(\displaystyle{ v_{0y}}\) w chwili , gdy uderzylo w ziemie:

\(\displaystyle{ v_{y} = gt}\)

Podstawiajac wczesniej wyznaczony czas mamy :

\(\displaystyle{ v_{y} = g \sqrt[2]{\frac{2y}{g}}}\)
\(\displaystyle{ v_{y} = \sqrt[2]{2gy}}\)

Teraz juz zostaje tylko obliczyc kat nachylenia v z poziomem:

\(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{v_{y}}{v_{0}}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{ \sqrt[2]{2gy}}{\frac{\sqrt[2]{2gy}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha = 2}\)
\(\displaystyle{ \alpha \approx 63^0}\)

9:

Klasyczny przyklad zadania z rownia pochyla. Ze wzgledu na tematyke tresci oblicze go tak jak reszte zadan z ruchu postepowego:

Rozkladajac sily na skladowe okazuje sie, ze zsuwanie powoduje tylko jedna sila skladowa sily ciezkosci :

\(\displaystyle{ F_{1} = Fcsin\alpha = ma}\)
\(\displaystyle{ a = gsin\alpha}\)

Podkladajac do wzoru na droge:

\(\displaystyle{ s = \frac{gsin\alpha t^2}{2} t= \sqrt[2]{\frac{2x}{gsin\alpha}}}\)

Vśr obliczamy podstawiajac czas do wzoru na predkosc srednia:

\(\displaystyle{ V = \frac {\Delta S}{\Delta t } V = \frac{x}{\sqrt[2]{\frac{2x}{gsin\alpha}}}}\)

Po obliczeniach mamy :

\(\displaystyle{ t = 2[s] v_{sr} = 5[\frac{m}{s}]}\)

Ad. 1 - Zamień prędkość kątową na liniową, podstaw do wzoru na siłę odśrodkową (\(\displaystyle{ F_{od}=\frac{mv^{2}}{r}}\)); porównaj ją następnie z siłą dośrodkową - siłą tarcia. Klocek przesunie się wtedy, gdy siła odśrodkowa przeważy dośrodkową.
Ad. 2 - Praca to iloczyn masy, przyspieszenia i pokonanej drogi, także różnica energii układu - w tym wypadku potencjalnych.
Ad. (?)4 - Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym, bo takim ruchem porusza się ciało rzucone w dół wyraża się wzorem \(\displaystyle{ s=v_{0}t+\frac{at^{2}}{2}}\), opóźnionym \(\displaystyle{ s=v_{0}t-\frac{at^{2}}{2}}\); zastanów się, jaka jest wartość przyspieszenia/opóźnienia; oblicz drogę pokonywaną przez ciało A z punktu widzenia ciała B, oblicz prędkość.
Ad. 5 - Analogicznie, jak w poprzednim zadaniu; ciała zrównają się, gdy odległość między nimi będzie równa zero, innymi słowy, gdy różnica odcinka h i drogi pokonanej przez pierwsze ciało będzie równe drodze drugiego ciała.
Ad. 6 - Ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, zatem w każdej kolejnej sekundzie pokonuje drogę sukcesywnie większą. Oblicz zatem czas t1, jakiego potrzebuje ciało na pokonanie drogi 2s1.
Ad. 7 - Wykorzystaj wzory rzutu poziomego, podstaw odpowiednie wartości.
Ad. 8 - Analogicznie, jak wyżej.
Ad. 9 - Ciało poruszać sie będzie ruchem jednostajnie przyspieszonym, zatem najpierw wyznacz przyspieszenie, korzystając z własności funkchji trygonometrycznych lub praw trójkąta prostokątnego o kątach 90°, 30°, 60°.
Ad. 10 - Analogicznie, jak wyżej.
Ad. (?)11 - Korzystaj także z funkcji trygonometrycznych; pamiętaj, że rozpatrywane ciało pozostanie w spoczynku, gdy wypadkowa wszystkich działającyh nań sił będzie równa 0.