Matematyka.pl

Ja mam 200*1199 (m wielokrotność 6) + (400*800+400*799)*0,5 -> m parzyste, n wyraz postaci 3k+1 lub 3k+2 lecz rozbiłem to na 2 wewnętrzne przypadki raz że liczba m jest liczbą parzystą, która byłaby właśnie tej postaci co n a raz, że nie.

No to juz po konkursie. Ponizej zamieszczam tresc dla ciekawych (nie sa doslowne bo nie chce mi sie pisac ):
zad.1
Rozwiazac uklad rownan w liczbach rzeczywistych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{ \frac{x}{y} }+ \sqrt{ \frac{y}{x} }= \frac{7}{ \sqrt{xy} } +1 \\ x \sqrt{xy} + y \sqrt{xy}=78 \end{cases}}\)
zad.2
W trojkacie ronoramiennym wysokosc padajaca na podstawe ma 12cm, a padajaca na ramie ma 14,4cm. Oblicz stosunek promienia kola wpisanego i promienia kola opisanego dla tego trojkata.
zad.3
Normalna tlaia kart (52 karty, 4rozne kolory, itp). Oblicz prawdopodobienstwo wylosowania ,,fula' przy losowaniu 5 kart.
zad.4
Wykazac, ze liczba jest naturalna i podac ile ma naturalnych dzielnikow:
\(\displaystyle{ 3*7*11*29*40*299*\sin10^{\circ}*\cos160^{\circ}*\sin130^{\circ}*[ \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}}(2+ \sqrt{3} ) + \log_{\frac{1}{2}}( \sqrt{6} - \sqrt{2} )]}\)
zad.5
Dany jest czworoscian ABCD. Krawedzie podstawy to \(\displaystyle{ a,b,c}\) , a krawedzie boczne to \(\displaystyle{ d,e,f}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest srodkiem ciezkosci podstawy \(\displaystyle{ ABC}\). Wykazac, ze:
\(\displaystyle{ \left|DS \right|= \frac{1}{3} \sqrt{3d^{2}+3e^{2}+3f^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}}}\)
Ja zrobilem wszystko, wyszedlem sporo przed czasem. Mam nadzieje, ze mam wszystko ok. Co do stereometrii to z checia zobaczylbym jakies syntetyczne rozwiazanie bo moje to anal . Wiem, ze moze to troche hardkorowo brzmiec, ale wyszlo na prawde zgrabnie i szybko ^^

Gierol, podaj swoje wyniki
zadania są już na stronie konkursu, jeśli ktoś chce ich dokładną treść

1) (4,9), (9,4)
2) 12/25
3) no tu jakiś nieskracalny ułamek, którego nie pamiętam wyszedł, ale to zadanie banalne podręcznikowe z liceum >.>
4) sinusy redukowały się do -1/8, z logarytmów -2, 299=13*23, dokładamy 1 i liczbę samą w sobie czyli ma tam troche ponad sto dzielników, już nie pamiętam ile.
5) oznaczamy punkty przecięć środkowych z bokami, dorysowujemy odpowiednio równoległoboki a potem już tylko twierdzenia cosinusów i dodawanie stronami.

1.(4,9), (9,4)
2.12/25
3.nie pamietam ale raczej latwe
4.128 dzielnikow ( chyba ;p) z logarytmow wychodzilo -2, ale jeszcze razy 1/2, zatem lacznie -1.
5. analitycznie ale latwo

1. \(\displaystyle{ (4,9), (9,4)}\)
2. \(\displaystyle{ \frac{12}{25}}\)
3. \(\displaystyle{ \frac{13 \cdot {4 \choose 3} \cdot 12 \cdot {4 \choose 2} }{ {52 \choose 5} }}\)
4. 128 dzielników
5 zrobiłem nieanalitycznie tak:

Oznaczam jako \(\displaystyle{ A_{1}}\) środek boku \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ \alpha= \sphericalangle ASD}\)

Zapisujemy twierdzenia cosinusów dla trójkątów \(\displaystyle{ ASD}\), \(\displaystyle{ A_{1}SD}\).

\(\displaystyle{ d^2 = DS^2 + AS^2 - 2DS \cdot AS cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ DA^2_{1} = DS^2 + SA^2_{1} - 2DS \cdot SA_{1} cos(180- \alpha)}\)

Wykorzystujemy fakty, że \(\displaystyle{ cos(180- \alpha )=-cos( \alpha)}\), \(\displaystyle{ AS= \frac{2}{3}AA_{1}}\), \(\displaystyle{ SA_{1}= \frac{1}{3}AA_{1}}\). Mnożymy drugie równanie przez 2.

\(\displaystyle{ d^2 = DS^2 + \frac{4}{9} AA^2_{1} - 2DS \cdot \frac{2}{3} AA_1 cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2DA^2_{1} = 2DS^2 + \frac{2}{9} AA^2_{1} + 4DS \cdot \frac{1}{3} AA_{1} cos\alpha}\)

Dodajemy stronami

\(\displaystyle{ d^2 + 2DA^2_{1} = 3 DS^2 + \frac{2}{3} AA^2_{1}}\)

Długości odcinków \(\displaystyle{ AA_{1}}\) i \(\displaystyle{ DA_{1}}\) liczymy ze wzoru na długość środkowej:

\(\displaystyle{ DA_{1} = \frac{ \sqrt{2e^2 + 2f^2 - a^2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ AA_{1} = \frac{ \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} }{2}}\)

Podstawiamy, potem drobne przekształcenia i otrzymujemy tezę.


A tak swoją drogą, to podpucha była w 4. bo można było się zasugerować, że 299 jest pierwsza

ja jak zwykle coś musiałem skopać. wszystko bylo fajnie 1,2,3 od reki, mialem ponad dwie godziny na 4. i 5. tylko ze w czwartym według mnie \(\displaystyle{ cos160=-sin20}\) i zamiast \(\displaystyle{ - \frac{1}{8}}\) dostalem \(\displaystyle{ - \frac{1}{8}tg20}\) . potem padło mi coś na wzrok i przez 1,5 godziny na przemian bezskutecznie szukałem bledu lub probowalem wyznaczyc \(\displaystyle{ tg20}\) a na koncu wkurzony juz nie mialem nastroju na liczenie analitycznie 5..
ogolnie poziom zadań jak zwykle bardzo niski. zapewne bedzie bardzo duzo osob z maksymalną iloscią punktow wiec takie mam pocieszenie ze komputera pewnie bym nie zgarnął a kolejny kalkulator mi nie jest potrzebny

Potwierdzam odpowiedzi, ktore podal Schmude. Balem sie troche liczyc analitycznie, ale po glebszym zastanowieniu nie bylo tam nawet zadnych szczegolnych porzypadkow. nigdzie nie dzielilo sie przez 0, itp, wiec raczej nie maja mi gdzie pociac. Rozdanie nagrod 29 kwietnia, a wiadomo kiedy pojawi sie lista laureatow?

Jedyny taki szczególik, który mi wyszedł to w 1 zadaniu jak mnożyłem pierwsze równanie stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{xy}}\) to miałem po lewej stronie \(\displaystyle{ \sqrt{x^2} + \sqrt{y^2}}\) i napisałem, że to jest \(\displaystyle{ \left|x \right| + \left| y\right|}\) a dopiero z drugiego równania wywnioskowałem, że x,y są dodatnie i wartości bezwzględne można opuścić.

Wyniki w zeszłym roku były chyba już w poniedziałek ale nie mam pewności.

Gierol pisze:Potwierdzam odpowiedzi, ktore podal Schmude

Hehe, ja też je potwierdzam, chociaż takich nie mam, bo w 1. zadaniu w pewnym momencie 19 przepisałem jako 9 i dalej rozwiązywałem kończąc złym wynikiem. Ciekawe, ile mi za to odejmą, cały sposób jest poprawny.
5. zrobiłem jak schmude, myślałem o analitycznym rozw., ale trochę się bałem
Gierol, jak umieściłeś to w układzie?

Mój kolega robił to tak, że punkty A,B,C umieścił w płaszczyźnie XOY a punkt D na osi Z.
W ten sposób kilka współrzędnych będzie zerami a potem to nie wiem. Pewnie trzeba skorzystać z tego, że środek ciężkości ma współrzędne będące średnią arytmetyczną wierzchołków. A może wektorowo?

no ja tak samo robilem. jeden punkt w poczatku ukladu wspolrzednych, drugi na osi, itp. wszystko sie fajnie poskracalo. wyglada na to, ze jedyne za co moga mi uciac to zapis, wiec sa szanse na laureata ;p

Dumel pisze:\(\displaystyle{ cos160=-sin20}\)

Myślałem że tylko ja taki błąd zrobiłem

Pojawiły się zdjęcia z finału i prac komisji.

To znaczy, że nasze prace są już sprawdzane Podoba mi się tempo w tym konkursie