Matematyka.pl

Mam takie zadanie:
Dany trojkat ABC. Oblicz dlugosc srodkowej S i dwusiecznej d poprowadzonych z wierzcholka C. AB=7, BC=8, AC=6. CL=dwusieczna, CK=srodkowa. Jak to rozwiazac?

Skorzystaj z tego, że środkowa trójkąta to odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołek trójkąta a drugim - środek przeciwległego boku trójkąta. Teraz na podstawie twierdzenia cosinusów mozesz obliczyćnp. kąt przy wierzchołku A. Niech to będzie kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) Wtedy wyjdzie Ci, że \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{1}{4}}\) z tablic matematycznych odczytujesz wartość kąta. Środkowa dzieli podstawę AB na połowy czyli na dwa odcinki o długości 3,5. mając daną długość połowy AB odcinek AC oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) możesz obliczyć bez problemu długość środkowej. Na podstawie twierdzenia cosinósów możesz obliczyć wszystkie kąty w trójkącie, awykorzystaj to obliczając dwusieczną. Nie namieszałam chyba nigdzie.

Sposób obliczenia środkowej Sc:



Jak widać na rysunku:

|LM| = |AK| = |KB| = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)|AB| = 3,5
|MK| = |CL| = |LA| = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)|AC| = 3
|KL| = |BM| = |MC| = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)|BC| = 4

Widać również, że powstał rownoległobok o bokach:
\(\displaystyle{ |MC|}\) \(\displaystyle{ ||}\) \(\displaystyle{ |KL|}\)
\(\displaystyle{ |CL|}\) \(\displaystyle{ ||}\) \(\displaystyle{ |MK|}\)

Natomiast jego przekątna to \(\displaystyle{ |LM|}\)

Wiedząc, że:
\(\displaystyle{ Sc^{2} + |LM|^{2} = 2 (|MC|^{2} + |MK|^{2})}\)
\(\displaystyle{ Sc^{2} = 2 (|MC|^{2} + |MK|^{2}) - |LM|^{2}}\)

Uzupełniamy:
\(\displaystyle{ Sc^{2} = 2 (4^{2} + 3^{2}) - (3,5)^{2}}\)
\(\displaystyle{ Sc^{2} = 2 25 - 12,25}\)
\(\displaystyle{ Sc^{2} = 50 - 12,25}\)
\(\displaystyle{ Sc = \sqrt{37,75}}\)

Jednak czy odpowiedź jest poprawna - głową nie ręcze
To tylko takie moje alternatywne, nikomu nieprzydatne, prawdopodobnie błędne rozwiązanie połowy zadania bez użycia tablic

W wolnej chwili sprawdzę za pomocą sposobu karoliny25 swoje rozwiązanie.

Twój sposób liczenia N/A nie jest zły lecz jest to sposób trochę dłuższy. Można do tego wyniku dojść na skróty.
Oznaczmy długość środkowej jako x i zastosujmy twierdzenie cosinusów, wtey mamy do rozwiązania równanie:
\(\displaystyle{ x^{2}=(3,5)^{2}+6^{2}-2{\cdot}3,5{\cdot}6{\cdot}0,25}\)
czyli \(\displaystyle{ x^{2}=37,75}\) ostatecznie \(\displaystyle{ x=\sqrt{37,75}}\)
A odnośnie dwusiecznej to z twierdzenia cosinusów możesz obliczyć kąt wierzchołak C. Wedłudg obliczeń wynosi on 57°54' więc zaokrąglając dwusieczna kąta wynosi 29°. Dzieli ona odcinek AB=7 na dwie części czyli jeden nazwiemy z a drugi 7-z niech długość dwusiecznej będzie y wtedy powstaje Ci układ równań:
\(\displaystyle{ z^{2}=y^{2}+6^{2}-2{\cdot}y{\cdot}6{\cdot}cos{\beta}}\)
\(\displaystyle{ (7-z)^{2}=y^{2}+8^{2}-2{\cdot}y{\cdot}8{\cdot}cos{\beta}}\)
oczywiście \(\displaystyle{ cos{\beta}}\)=29° jako połowa kąta przy wierzchłku C.