Granice ciągów-tw. o trzech ciągach

[reksiak]

Jak obliczyć następujące granice korzystając z tw. o trzech ciągach:
a)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{sin^{2}n+4n}{3n-1}}\)
b)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{[\sqrt{2}n]}{n}}\)
c)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(2cosn-5)n^{2}}\)
d)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{log_{2}(2^{n}+1)}{log_{2}(4^{n}+1)}}\)
e)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n}{n+1}}}\)

[Cod]

a)

Korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ \forall x}\) \(\displaystyle{ 0\leq sin^{2}x\leq 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{4n}{3n-1}\leq\frac{sin^{2}n+4n}{3n-1}\leq\frac{4n+1}{3n-1}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{4n}{3n-1}=\frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{4n+1}{3n-1}=\frac{4}{3}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{sin^{2}n+4n}{3n-1}=\frac{4}{3}}\)

b)

Korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ \forall x\geq 0}\) \(\displaystyle{ x\geq[x]\geq x-1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}n}{n}\geq\frac{[\sqrt{2}n]}{n}\geq\frac{sqrt{2}n-1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2}n}{n}=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2}n-1}{n}=\sqrt{2}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{[\sqrt{2}n]}{n}=\sqrt{2}}\)

c)

Korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ \forall x}\) \(\displaystyle{ -1\leq cosx\leq 1}\)

Już sam sobie dalej poradzisz. Powinno wyjść \(\displaystyle{ -\infty}\).

d)

Korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ \forall x>-1}\) \(\displaystyle{ \frac{x}{1+x}\leq ln(1+x)\leq x}\)

Wydaje mi się, że powinno wyjść 0.

e)

Korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{2}}=1}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}=1}\)

Granica wychodzi 1.

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem nigdzie. Późno już, więc jeśli wkradł się jakiś błąd, to sorry.

[reksiak]

Dzięki serdeczne za pomoc.

[Kaukaz]

Moim zdaniem z d) coś nie gra i granica powinna wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Szacuję to w następujący sposób:

\(\displaystyle{ \frac{log_{2}2^{n}}{log_{2}4^{n}}\leq\frac{log_{2}(2^{n}+1)}{log_{2}(4^{n}+1)}\leq\frac{log_{2}(2\cdot2^{n})}{log_{2}(4\cdot4^{n})}}\)

[Cod]

W d) rzeczywiście zakradł mi się błąd, bo późna pora spowodowała, iż \(\displaystyle{ log_{2}}\) odczytałem jako \(\displaystyle{ ln}\) . Kaukaz, Twoje szacowanie jest jednak złe. Szacując ułamek, możesz oszacować licznik z dołu i mianownik z góry albo na odwrót. Jeśli natomiast przykładowo zwiększysz i licznik, i mianownik, to wcale nie oznacza to, iż nowo powstały ułamek jest większy od starego. Poprawne rozwiązanie powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\leftarrow\frac{n log_{2}2}{(n+1)log_{2}4}=\frac{log_{2}2^{n}}{log_{2}4^{n+1}}\leq \frac{log_{2}(2^{n}+1)}{log_{2}(4^{n}+1)}\leq \frac{log_{2}2^{n+1}}{log_{2}4^{n}}=\frac{(n+1)log_{2}2}{n log_{2}4} \frac{1}{2}}\)

Z twierdzenia o trzech ciągach granica badanego ciągu wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

[Olo]

w d) wystarczy 2^n wysunąć przed nawias (nie przed logarytm) i skorzystać ze wzoru na iloczyn w logarytmie i po sprawie tak samo w mianowniku.