Mierzalność na generatorze sigma ciała

[Emiel Regis]

\(\displaystyle{ Z:
\mathcal{A} Y, \ \mathcal{F} - \sigma \mbox{-ciało} \ \
\ \ f: (X,\mathcal{F}) \longrightarrow (Y, \sigma(\mathcal{A}))\\ \\
T: f \mbox{ mierzalna } f^{-1}(A) \mathcal{F} \ \ \forall A \mathcal{A}}\)


Implikacja w prawo oczywista, pozostaje implikacja w lewo; )

[xiikzodz]

\(\displaystyle{ f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\bigcap_{i\in I}f^{-1}(A_i)}\),
\(\displaystyle{ f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I}f^{-1}(A_i)}\),

czyli zbior takich \(\displaystyle{ A\in\sigma(A)}\), ze \(\displaystyle{ f^{-1}(A)\in\mathcal{F}}\) jest \(\displaystyle{ \pi\lambda}\) ukladem, bo \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\) - cialem, dalej wiadomo.

[Emiel Regis]

Też tak zacząłem, tzn. od pokazania tego co umiem tj.

\(\displaystyle{ \mathcal{G}=\{A \sigma(\mathcal{A}): f^{-1}(A) \mathcal{F}\} \mbox{ - \sigma-cialo}}\)

I nie wiem co dalej z tym zrobić.

hmm, chciałbym pokazać, że \(\displaystyle{ f^{-1}(A) \mathcal{F} \ \ \forall A \sigma(\mathcal{A})}\), czyli np gdybym pokazał, że \(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{A}) \mathcal{G}}\) to byłby koniec dowodu...

[xiikzodz]

Nie pojmuje problemu. Wynikanie w prawo chyba jasne.

Wynikanie w lewo w zalozeniu ma

\(\displaystyle{ \forall A\in A:f^{-1}(A)\in\mathcal{F}}\)

\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{A})}\) to z definicji najmniejsze \(\displaystyle{ \sigma}\) - cialo zawierajace \(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{A})}\). Cos jeszcze tu trzeba napisac?

[Emiel Regis]

Tak, w prawo jasne bo mamy zagwarantowaną mierzalność na większym zbiorze to i na mniejszym będzie. Jednak dowodząc w lewo to mamy mierzalność na mniejszym zbiorze a pokazujemy na większym więc takie całkowicie trywialne to nie jest.

Z założeń wiemy, że:

1. \(\displaystyle{ f^{-1}(A) \mathcal{F} \ \ \forall A \mathcal{A}}\)

oraz łatwo pokazać, że:

2. \(\displaystyle{ \mathcal{G}=\{A \sigma(\mathcal{A}): f^{-1}(A) \mathcal{F}\} \mbox{ - \sigma-cialo}}\)

Jedynka nam mówi, ze mamy mierzalność na generatorze, dwójka że mamy mierzalność także na pewnych innych podzbiorach które tworza sigma ciało, czy z tego tak od kopa wynika:

\(\displaystyle{ f^{-1}(A) \mathcal{F} \ \ \forall A \sigma(\mathcal{A})}\)

?


[edit]
aaa już wiem!
Jakby ktoś miał kiedyś podobny problem to dokończę dowód:

Dodatkowo wiemy, że:

3) \(\displaystyle{ \mathcal{A} \mathcal{G}}\) (bo na \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) f jest mierzalna)

4) \(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{A}) \mathcal{G}}\) (bo \(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{A})}\) to najmniejsze sigma ciało zawierające \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\))

No i teraz z czwórki wynika teza. Jednak żeby ją mieć to jakies rozumowanie było potrzebne...