równanie rózniczkowe: "Znaleźć krzywą, której styczna..

[duiner]

potrzebuje pomocy z następującym zadankiem:

Znaleźć krzywą, której styczna odległa jest od początku układu współrzędnych o bezwzględną wartość odciętej punktu styczności.

O ile się nie pomyliłem wychodzi mi równanie:
\(\displaystyle{ \frac{|x \frac{dy}{dx} - x|}{ \sqrt{(\frac{dy}{dx}) ^{2}+1 } } = |x|}\)
za które nie wiem jak się zabrać. Udzieli mi ktoś jakiś wskazówek?

[luka52]

Mi wyszło równanie

\(\displaystyle{ \frac{|x y' - y|}{\sqrt{1 + y'^2}} = |x| \quad (*)}\)

Rozwiązałem je wprowadzając współrzędne biegunowe, tj. równania

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = r ( \varphi ) \cos \varphi \\ y = r ( \varphi ) \sin \varphi \end{cases}}\)

obustronnie różniczkujemy a następnie dzielimy, tak by otrzymać wyrażenia na \(\displaystyle{ \tfrac{dy}{dx}}\). Następnie podstawiamy wszystko do wyjściowego równania (*) (pomijając wartości bezwzględne). Jest trochę przekształceć, jednak opłaci się cierpliwość, gdyż otrzymamy do rozwiązania proste równanie

\(\displaystyle{ r = \cos \varphi \sqrt{r^2 + r'^2}}\)

skąd mamy rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ r(\varphi) = C (\cos \varphi )^{\pm 1}}\) - czyli rodzina prostych o równaniu \(\displaystyle{ x = C}\) oraz rodzina okręgów o równaniu \(\displaystyle{ \left( x - \tfrac{C}{2} \right)^2 + y^2 = \tfrac{C^2}{4}}\). Łatwo sprawdzić, że obydwa rozwiązania spełniają warunki zadania.

[Kamila_88]

Hmm... a ja dojść do takiego równania? Mógłby ktoś napisać