[Teoria liczb] Licz rozwiązań dla dowolnej liczby naturalnej

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina

[Teoria liczb] Licz rozwiązań dla dowolnej liczby naturalnej

Post autor: MagdaW » 30 paź 2008, o 22:22

Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) określić liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sqrt{x} + \sqrt{y}=n}\) w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x, y}\). Zadanie pochodzi z Koła dla Olimpijczyków UMCS i mam nadzieję, że nie pojawiło się jeszcze na forum.
Ostatnio zmieniony 22 maja 2019, o 22:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

[Teoria liczb] Licz rozwiązań dla dowolnej liczby naturalnej

Post autor: robin5hood » 30 paź 2008, o 22:46

można udowodnić, ze zarówno x jak i y są kwadraami liczb całkowitych (czyli rozwiazań jest dokładnie n) Po przekształceniu \(\displaystyle{ x = n^2 - 2\cdot n \sqrt{y} + y}\) I to juz dowodzi temu że y musi być kwadratem l. naturalnej (podobnie się robi dla x) jeśli \(\displaystyle{ x \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{x} \mathbb{Q}}\) to musi być \(\displaystyle{ x = k^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \mathbb{Z}}\) gdyż jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{x} = \frac{p}{q}}\) to \(\displaystyle{ x = \frac{p^2}{q^2}}\), bez straty ogólności możemy założyć, że NWD(p,q) = 1, ale wtedy \(\displaystyle{ q^2 \ | \ p^2}\) czyli \(\displaystyle{ q \ | \ p}\) co jest możliwe tylko gdy q = 1 zatem \(\displaystyle{ x = p^2}\) gdzie \(\displaystyle{ p \mathbb{Z}}\)

Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1110
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna

[Teoria liczb] Licz rozwiązań dla dowolnej liczby naturalnej

Post autor: Mruczek » 22 maja 2019, o 21:24

To zadanie z 35 OM - II - 1: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/835

ODPOWIEDZ