Matematyka.pl

1 3 0
v1=3 v2=8 v3=-1
4 7 -5

1
czy wektor v=7 jest kombinacja liniowa v1,v2,v3?
2

\(\displaystyle{ \vec{v_1}=[1,3,4] \\
\vec{v_2}=[3,8,7] \\
\vec{v_3}=[0,-1,-5] \\
ft| \begin{array}{ccc}
1 & 3 & 0 \\
3 & 8 & -1 \\
4 & 7 & -5
\end{array} \right| =
ft| \begin{array}{cc}
8 & -1 \\
7 & -5
\end{array} \right| - 3
ft| \begin{array}{ccc}
3 & -1 \\
4 & -5
\end{array} \right| = -40+7+45-12=0}\)
Co oznacza, że wektory są liniowo zależne. I rzeczywiście:
\(\displaystyle{ \vec{v_3}=\vec{v_2}-3\vec{v_1}}\)

Teraz:
\(\displaystyle{ \vec{v_4}=[1,7,2] \\
ft| \begin{array}{ccc}
1 & 3 & 1 \\
3 & 8 & 7 \\
4 & 7 & 2
\end{array} \right| = 22}\)
Co oznacza, że \(\displaystyle{ \vec{v4}}\) nie może być kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ \vec{v_1}, \ \vec{v_2}, \ \vec{v_3}}\) (a co za tym idzie wektory \(\displaystyle{ \vec{v_1}, \ \vec{v_2}, \ \vec{v_4}}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)).