Matematyka.pl

Hejo,
Mam takie zadanie:
Niech X= {1,2,3}. Określamy relację R w iloczynie kartezjańskim X x X, jak w tabeli poniżej:
(i tu tabelka):

1 x
2 x x x
3 x
--1 2 3

Mniej wiecej cos takiego (poziomo x1, pionowo x2). W kratce tabeli znak x oznacza że odpowiednie elementy x1,x2 są w relacji. Odpowiedz czy relacja jest:
- zwrotna NIE (bo ~3R3)
- symetryczna NIE (bo 3R2 (fałsz) -> 2R3 (prawda))
- przechodnia ?
- równoważności NIE (bo nie jest zwrotna ani symetryczna...)
- spójna TAK
- antysymetryczna TAK

No i właśnie nie wiem - czy jest przechodnia? Bo im dłużej analizuję, to tym bardziej nie wiem i Czy reszta jest dobrze?

Według mnie, relacja jest przechodnia. A to ponieważ:

1. Zapiszmy wszystkie elementy jako \(\displaystyle{ (x,y)}\). Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1)}\)

2. Teraz sprawdzamy, czy zachodzi warunek przechodniości, czyli \(\displaystyle{ xRy yRz xRz}\), pamiętając, że \(\displaystyle{ (3,1)}\) to nie jest to samo co \(\displaystyle{ (1,3)}\)!
\(\displaystyle{ 3R1 1R1 3R1 \ (3,1)}\)
\(\displaystyle{ 2R3 3R1 2R1 \ (2,1)}\)
Sprawdzamy tak wszystkie kolejne (co wcale trudnym zadaniem nie jest) i dochodzimy do wniosku, że relacja JEST przechodnia.


Mam nadzieję, że trochę rozjaśniłem przykład.