Matematyka.pl

Musze rozwiązać uklad równań metodą eliminacji Gaussa-Jordana:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+2y-3z+t=1\\5x+2y-4z-2t=7\\4x \ \ \ \ \ \ -z-3t=3 \end{array}\right.}\)

Z tego to mi wiadomo w tej metodzie musze wyzerować wszystko pod i nad główną przekątną macierzy tego ukladu a glowna przekątna ma sie skladać z jedynek. Jak w takiem razie mam postąpić z tym ukladem skoro jego macierz nie jest kwadratowa i nie ma glownej przekątnej?

Nie wiem czy tak można ale przeniosłam niewiadomą t na drugą stronę i potraktowałam jako parametr. Po odpowiednich przeksztalceniach moja macierz rozszerzona ukladu przyjela postać:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0& - \frac{1}{4} \\0&1& - \frac{11}{8} \\0&0&0\end{array} \right.\left|\begin{array}{ccc} \frac{6}{4} + \frac{3}{4} t \\ - \frac{1}{4} - \frac{7}{8} t \\ -3 \end{array} \right]}\)

I nie mam pojęcia co dalej...

Calias pisze:I nie mam pojęcia co dalej...

Przenieść można , tylko po co? Mamy doprowadzić do macierzy schodkowej, z której można odczytać rozwiązania. Za "główną przekątną robi" tutaj ucięta przękątna, w tym przypadku: \(\displaystyle{ a _{1,1},a _{2,2} ,a _{3,3}.}\)
Jeżeli ostatni wiersz ma postać: \(\displaystyle{ 0, \ 0, \ 0, \ 0. \ 3, \ to \ 0x+0y+0z+0t=3}\) i układ jest sprzeczny.
Jeżeli ostatni wiersz to \(\displaystyle{ 0, \ 0, \ 0, \ 3, \ 0,}\) czyli 3 dotyczy t, to zamieniamy kolumny z i t, a następnie "zamieniamy" to 3 w jedynkę.
Otrzymamy wtedy układ nieoznaczony, w którym wartości rozwiązań będą zależeć od wartości z. W ostateczności można wtedy przenieść kolumnę z "zetami" na prawą stronę, żeby po lewej dostać macierz kwadratoą - ale jest to zbędne.
Przy metodzie eliminacji Gaussa nie trzeba doprowadzać ąż do takiej postaci, a tylko do postaci schodkowej. Pozwolę sobie spróbować.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-3&1&1\\5&2&-4&-2&7\\4&0&-1&-3&3\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-3&1&1\\0&-8&11&-7&2\\0&-8&11&-7&-1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-3&1&1\\0&-8&11&-7&2\\0&0&0&0&-3\end{array}\right]}\)
Z ostatniego wiersza ostatniej macierzy wynika, że układ jest sprzeczny.