Matematyka.pl

Jakby ktos rozwiazal to byla bym wdzieczna za dosc szczegolowe wyjasnienia, bo nie mam pojecia jak to zrobic !!!! A i nie mozna korzystac z zadnych pochodnych =P (zeby bylo trudniej)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to1} (\frac{n}{1-x^{n}}-\frac{k}{1-x^{k}})}\) n,k \(\displaystyle{ \in}\) N

To będzie \(\displaystyle{ \frac{n-k}{2}}\).

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1}(\frac{n}{1-x^{n}}-\frac{k}{1-x^{k}})=\lim_{x \to 1}(\frac{n}{(1-x)(1+x+...+x^{n-1})}-\frac{k}{(1-x)(1+x+...+x^{k-1})})}\)

Teraz sprowadzamy to do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1}\frac{n(1+x+...+x^{k-1})-k(1+x+...+x^{n-1})}{(1-x)(1+x+...+x^{n-1})(1+x+...+x^{k-1})}=\lim_{x \to 1}\frac{n(1+1+..+1 + (x-1) + (x^{2}-1) + (x^{k-1}-1)) - k(1+1+..+1+(x-1)+(x^{2}-1)+...+(x^{n-1}-1))}{(1-x)(1+x+...+x^{n-1})(1+x+...+x^{k-1})}}\)

Tych jedynek to jest, odpowiednio, k i n, więc nk - kn zniknie, a z tego co zostanie wyciągamy "przed nawias" wyraz (x-1; wyjdzie coś takiego długaśnego:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1}\frac{n((x-1)+(x-1)(x+1)+(x-1)(x^2+x+1)+...+(x-1)(x^{k-2}+x^{k-3}+...+x^{2}+x+1))-k((x-1)+(x-1)(x+1)+(x-1)(x^2+x+1)+...+(x-1)(x^{n-2}+x^{n-3}+...+x^{2}+x+1))}{(1-x)(1+x+...+x^{n-1})(1+x+...+x^{k-1})}}\)

Teraz już możemy usunąć niewymierność z mianownika tj. skrócić (x-1) z licznika z (1-x) z mianownika i można policzyć granicę:

\(\displaystyle{ \frac{k(1+2+3+...+(n-1))-n(1+2+3+...+(k-1))}{nk}=\frac{k(n-1)(1+n-1)-n(k-1)(1+k-1)}{2nk}=\frac{n-k}{2}}\)

dzieki wielkie!! Mam nadzieje ze to jest ok, bo dzieki temu moge miec zaliczona analize

Wynik jest na 100% ok (łatwo sprawdzić w arkuszu kalkulacyjnym, czy nawet na kalkulatorze dla x np. 0,9999 albo 1,0001 i przykładowych n, k), natomiast nie jestem pewien, czy nie dałoby się zrobić tego ciut prościej (ale raczej nie).
Pozdrawiam.