Indukcja nierówności-sposób?

[Kaszim]

Udowodnij indukcyjnie:
a) \(\displaystyle{ 2n+1<2^{n}}\)
b) \(\displaystyle{ n^{3}<2^{n}}\)
c) \(\displaystyle{ (n+1)^{n}<n^{n+1}}\)
d) \(\displaystyle{ 3^{n}<n^{2}+2n-4}\)

czy istnieje jakiś sposób na indukcje nierówności???

Proszę o pomoc w rozwiązaniu powyższych przykładów.

[Tomasz Rużycki]

a)
\(\displaystyle{ 2^n>2n+1}\) dla \(\displaystyle{ n>2}\).

Dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy:

\(\displaystyle{ 2^3=8 > 6+1 = 7}\), co jest oczywiście prawdą.


Załóżmy, że \(\displaystyle{ 2^n>2n+1}\).

Mnożąc obie strony przez 2 dostajemy:

\(\displaystyle{ 2^{n+1}>4n+2}\).

Pozostaje wykazać, że \(\displaystyle{ 4n+2>2n+3}\), równoważnie

\(\displaystyle{ 2n>1}\), co oczywiście zachodzi. Na mocy zasady indukcji kończy to dowód.

b) analogicznie mniej-więcej, mnożysz przez 2 etc.

Reszta potem.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[Kaszim]

przykład:

\(\displaystyle{ n^{2}<3^{n-1}}\)

rozwiązanie:

I sprawdzenie dla \(\displaystyle{ n=0}\)
\(\displaystyle{ 0^{2}=0< \frac{1}{3}=3^{-1}}\)

II Założenie:
\(\displaystyle{ n^{2}<3^{n-1}}\)
Mnożąc obie strony przez 3 mamy:
\(\displaystyle{ 3n^{2}<3^n}\)

III Teza:
\(\displaystyle{ (n+1)^{2}<3^n}\)

IV Dowód:
\(\displaystyle{ 3n^{2}>(n+1)^{2}\\
3n^{2}>n^{2}+2n+1\\
n^{2}-2n>1\\
n(n-2)>1}\)
c.n.u.

Czy to jest dobrze?


Zgłoś ten post

[Tomasz Rużycki]

Tak, ale ta nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ n>3}\).

Edit: A jednak nie, sprawdź sobie dokładnie rachunki.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[Kaszim]

dla n=3 mamy sprzeczność 9

poprosze jeszcze o pomoc tylko w przykładzie c)


-------------------------------------------------------------------------------
Rozwiązanie jeszcze innego przykładu-czy jest dobrze?

\(\displaystyle{ 30|n^{5}-n}\)

dla \(\displaystyle{ n=2}\) spełnione

Założenie:
\(\displaystyle{ n^{5}-n=30t}\)

Teza:
\(\displaystyle{ (n+1)^{5}-n-1=30s}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ L=(n+1)^{5}-n-1=n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n+1-n-1}\)
\(\displaystyle{ =n^{5}-n+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n}\)
\(\displaystyle{ =30t+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n}\)
\(\displaystyle{ =30(t+ \frac{1}{6}n^{4}+\frac{1}{3}n^{3}+\frac{1}{3}n^{2}+\frac{1}{6}n)=30s}\) c.n.u.


----------------------------------------------------------------------

rozwiązanie przykładu c)

\(\displaystyle{ (n+1)^{n}<n^{n+1}}\)
I Sprawdzenie dla \(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ 4^{3}=64}\)

II Założenie:
\(\displaystyle{ (n+1)^{n}<n^{n+1}}\) możąc obustronie przez \(\displaystyle{ (n+1)}\) mamy:
\(\displaystyle{ (n+1)^{n+1}<n^{n+2}+n^{n+1}}\)

III Teza:
\(\displaystyle{ (n+1)^{n+1}}\) czyli
\(\displaystyle{ (n+1)^{n+1}}\)

IV Dowód:
\(\displaystyle{ n^{n+2}+n^{n+1}>n^{n+2}+2n+1}\)
\(\displaystyle{ n^{n+1}-2n>1}\) dla \(\displaystyle{ n ≥ 2}\) c.n.u

Dobrze zrobiłem ??

[Tomasz Rużycki]

Chyba nie za bardzo, ja bym to zrobił tak:

Dla \(\displaystyle{ n=3}\) sprawdzamy ręcznie, dalej zakładamy, że nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\), czyli, że \(\displaystyle{ n^{n+1}>(n+1)^n}\), równoważnie (dzieląc przez \(\displaystyle{ n^n}\)) \(\displaystyle{ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n < n}\).

\(\displaystyle{ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\).

Mamy wykazać, że \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} < n+1}\).

\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} = \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n \left(1+\frac{1}{n+1}\right) < \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \left(1+\frac{1}{n+1}\right) \left(1+\frac{1}{n+1}\right) = n+ \frac{n}{n+1} < n+1}\), co na mocy zasady indukcji matematycznej kończy dowód.

Jako ciekawostke podam, że dla \(\displaystyle{ x>y\geq e}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ y^x>x^y}\). Poza tym oczywiście \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n <e}\)



Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki