Matematyka.pl

zad 1

Dane są dwa wektory\(\displaystyle{ \vec{OA}}\)=\(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{OB}}\)=\(\displaystyle{ \vec{b}}\) wyznaczające trójkąt OAB przy czym |\(\displaystyle{ \vec{a}\)|=|\(\displaystyle{ \vec{b}}\)|=1 oraz (\(\displaystyle{ \vec{a}}\), \(\displaystyle{ \vec{b}}\))=\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Na OA odłożono odcinek OK=\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)OA oraz na OB odcinek OL=\(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\)OB. Udowodnić że wektor \(\displaystyle{ \vec{BK}}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{AL}}\).

\(\displaystyle{ \vec{OA}+\vec{AL}=\vec{OL}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AL}=\vec{OL}-\vec{OA}=\frac2 7\vec{b}-\vec{a}}\)

\(\displaystyle{ \vec{OB}+\vec{BK}=\vec{OK}}\)
\(\displaystyle{ \vec{BK}=\vec{OK}-\vec{OB}=\frac1 4\vec{a}-\vec{b}}\)

Teraz wiemy, że wektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0.
\(\displaystyle{ \vec{AL}\circ\vec{BK}=(\frac2 7\vec{b}-\vec{a})\circ(\frac1 4\vec{a}-\vec{b})=\frac2{28}(\vec{a}\circ\vec{b}) - \frac2 7\vec{b}^2 -\frac1 4\vec{a}^2 + \vec{a}\circ\vec{b}=\frac{30}{28}(\vec{a}\circ\vec{b})-\frac2 7|\vec{b}| - \frac1 4|\vec{a}|=\frac{30}{28}\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \frac2 7 - \frac1 4 = \frac{30}{28}\cdot1\cdot1\cdot\frac1 2 -\frac 2 7 - \frac 1 4 = 0}\), więc wektory są prostopadłe