Matematyka.pl

Jest takie zadanie:

Znaleźć 3 liczby dodatnie spełniające układ równań:

\(\displaystyle{ \frac{c}{a-b}=5}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{a+b}=\frac{2}{3}}\)

Chodzi mi o szczegółowe rozpisanie, znajdywania takich liczb niż o sam wynik, który można znaleźć w pamięci. Jakie warunki trzeba założyć i jak to pokolei zrobić.

Zrobić założenia na mianowniki, zauważyć, że c nie może być równe 0. I teraz odwracamy proporcje
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c}=\frac{3}{2} \\ \frac{a-b}{c}=\frac{1}{5}}\)
I teraz dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+a-b}{c} = \frac{15+2}{10} \\ \frac{2a}{c} = \frac{17}{10} \\ 20a=17c \\ a = \frac{17c}{20}}\)
Podstawmy to do drugiego równania dajmy na to, więc mamy:
\(\displaystyle{ \frac{17c}{20} - b = \frac{c}{5} \\ -b = \frac{c}{5} - \frac{17c}{20} \\ b = \frac{17c-4c}{20} = \frac{13c}{20}}\)

Nie powiedziałeś nic o charakterze tych liczb, więc jeżeli mają być rzeczywiste, to masz problem. Jeżeli zaś miały być naturalne, to po prostu musisz się zastanowić, jakiej postaci musi być c, by a i b również było naturalne.

Sory, zapomniałem dodać, że a, b i c należą do naturalnych. Rogal czy mógłbyś to dalej rozwiązać?

Już nic wielkiego bardzo robić nie trzeba. Po prostu zauważ, że aby liczby a i b były naturalne, to musi zniknąć mianownik, czyli problem sprowadza się do znalezienia c. Widać wyraźnie, że musi ono być podzielne przez 20, wtedy mianownik zniknie. Możemy więc napisać, że c = 20k, gdzie k należy do naturalnych bez zera. Teraz wstawiając to do równań na a i b, otrzymujemy a = 17k i b = 13k. Rozwiązaniem więc układu równań tego są trójki liczb (a, b, c) postaci a=17k, b=13k, c=20k, dla k naturalnego dodatniego. Innymi słowy, łopatologicznie mówiąc, podstawiając dowolną liczbę za k z określonej dziedziny otrzymujesz liczby a, b i c będącymi rozwiązaniem tego układu równań. Ponieważ dziedziną jest zbiór nieskończony, więc i rozwiązań jest nieskończenie wiele.
No, i chyba tyla, jak mawiali w kabarecie