Matematyka.pl

Pokazać, że \(\displaystyle{ (1,1,2),(1,1,1),(0,1,2)}\) stanowią bazę \(\displaystyle{ IR^3}\). Znaleźć współrzędne wektorów \(\displaystyle{ (2,1,1),(3,4,7)}\) w tej bazie.


z gory dziekuje za pomoc

chef,

Część pierwsza. Czy nie wystarczy pokazać, że te 3 wektory są liniowo niezależne ?

Zlodiej pisze:chef,

Część pierwsza. Czy nie wystarczy pokazać, że te 3 wektory są liniowo niezależne ?

Super, tylko jak to pokazać ?

Z góry dzieki za odpowiedz.

Pozdrawiam

Edit: Już wiem, dzięki.

Dzisiaj znalazłem własnie zasade rozwiązywania drugiej częsci.

Poprostu rozwiazujesz macierz ustawiając wektory bazy w kolumnach, a w kolumnie wyrazów wolnych ustawiasz wektor. Czyli np.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0&|&2\\1&1&1&|&1\\2&1&2&|&1\end{array}\right]}\)

Żeby sprawdzić czy dane wektory są bazą to nie wystarczy sprawdzić czy są liniowo niezależne muszą jeszcze generować całą przestrzeń. Jest twierdzenie, które bardzo ułatwia sprawdzanie czy n wektorów tworzy baze w przestrzeni \(\displaystyle{ R^n}\). Tworzysz macierz kwadratową nxn wpisują w pierwszy wiersz pierwszy wektor w drugi wiersz drugie wektor itp. Jezeli wyznacznik z tej macierzy jest różny od 0 to wektory tworzą baze. Co do drugiej czesci to jest jeszcze pewna sztuczka, która ułatwia znalezienie rozkładu wielu wektorów. Rozwiązujesz to dokładnie identycznie jak napisał Zlodiej z tym, że w ostatniej kolumnie wpisujesz sobie x,y,z i wtedy masz tak jakby ogólny wzór na rozkład wektora w danej bazie.