Matematyka.pl

Znalazłem to zadanie w książce Musztariego "Przygotowanie do olimpiad matematycznych":

Płaszczyzna została zamalowana trzema różnymi kolorami. Pokaż, że można znaleźć dwa pomalowane tym samym kolorem punkty, które są odległe od siebie dokładnie o 1 metr.

W książce umieszczono tylko wskazówkę, a ja prosiłbym o pełne rozwiązanie. Z góry dzięki za pomoc.

Rozwaz trojkaty rownoboczne. Wykaz, ze istnieje okrag "jednokolorowy" o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

Gdyby to była przestrzeń to wystarczyłby czworościan .
Od razu jak przeczytałem na myśl rzuciły mi się trójkąty równoboczne i okręgi, jednak wiem, że od tej myśli do rozwiązania daleko . Po rozważeniu jednego okręgu można dojść, że istnieje sześciakąt foremny o bokach 1 i wierzchołkach w dwóch kolorach na przemian, ale nie wiem czy to coś daje.

Jak udowodnisz, ze istnieje jednokolorowy okrag o promieniu pierw. z 3 to istnieje w nim cieciwa o dlugosci 1

Moglibyście napisać jak dojść do tego okręgu, bo pierwszy raz robię tego typu zadanie i zupełnie nie wiem jak się do tego zabrać?

Wez dwa trojkaty rownoboczne o jednym wspolnym boku i cos zauwaz

No faktycznie okrąg wychodzi z sześciokąta foremnego. Ale jak mam udowodnić, że on jest jednokolorowy? Bo w tej chwili widzę, że tylko jedna trzecia punktów na tym okręgu jest jednokolorowa.

Bierzesz punkt, Budujesz trojkat rownoboczny z wierzcholkiem w tym punkcie i do boku nie zawierajacego tego wierz. dokladasz jeszcze jeden trojkat rownoboczny. Zauwaz, ze te wierzcholki, ktore nie leza na wspolnej podstawie sa tego samego koloru. Teraz obracasz cala konstrukcja, ale pierwszy punkt pozostaje w tym samym miejscu i tyle.