Matematyka.pl

Znajdź postać trygonometryczną podanych liczb zespolonych:

a) \(\displaystyle{ z=sin -icos }\)
b) \(\displaystyle{ z= 1+cos +isin }\)
c) \(\displaystyle{ z= \frac{1-itan }{1+itan }}\)




No więc, zacząłem tak:

a) \(\displaystyle{ z=sin -icos }\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{sin ^{2} +cos ^{2} } =1}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi=sin }\)
\(\displaystyle{ sin\varphi = -cos }\)

Nie wiem za bardzo jak z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ \varphi}\)





b)\(\displaystyle{ z= 1+cos +isin }\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{(1+cos ) ^{2} +sin ^{2} }= \sqrt{1+2cos +cos ^{2} +sin ^{2} } = \sqrt{2+2cos }}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi= \frac{1+cos }{ \sqrt{2+2cos }}= \frac{1+cos }{ \sqrt{2} \sqrt{1+1cos }}=...}\)

Też nie wiem co dalej z tym mam począć....




c) \(\displaystyle{ z= \frac{1-itan }{1+itan }}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1-itan }{1+itan } = \frac{(1-itan )(1-itan ) }{1+tan ^{2} }= \frac{1-tan ^{2} -2itan }{1+tan ^{2} }= \frac{1-tan ^{2} }{1+tan ^{2} }- \frac{2tan }{1+tan ^{2} }i=...}\)

I tu też nie wiem co dalej.... (oczywiście trzeba liczyć \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) ale z takiej formy może być dość ciężko.... )



Z góry dzięki za pomoc

I w 1. przydaje się znajomość wzorów redukcyjnych:
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\sin\alpha=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\\\sin\varphi=-\cos\alpha=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}\)
I ładnie wychodzi, że \(\displaystyle{ \varphi=\frac{3\pi}{2}+\alpha}\) (na przykład )
A co do trójki: https://matematyka.pl/85792.htm

Co do drugiego to podpowiem:
\(\displaystyle{ \left| cos{\frac{x}{2}} \right| =\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}}\)

witam, też mam problem z podpunktem 2. i podpowiedź mi nic nie daje...