Przybliżona suma szeregu
: 17 paź 2008, o 21:16
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania (a właściwie sposobu jak należy je rozwiązać):
Dany jest szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } ft(-1 \right) ^{n} \frac{2n}{ ft(n+2 \right)! }}\)
należy obliczyć jego przybliżona sumę, przyjmując dokładność \(\displaystyle{ \epsilon = 10 ^{-10}}\)
Podane rozwiązanie:
"Sumujemy szereg naprzemienny zbieżny. Jeśli za przybliżoną sumę szeregu będziemy brać n-tą sumę częściową, to błąd bezwzględny miedzy dokładną sumą a jej przybliżeniem nie będzie przekraczał wartości bezwzględnej pierwszego odrzuconego wyrazu czyli \(\displaystyle{ \left|a _{n+1} \right|}\). Zatem będziemy brać tyle wyrazów, aż sąsiednie sumy będą się różnić o mniej niż podana dokładność 0,0000000001.
\(\displaystyle{ s _{1}= \frac{-2}{3!}}\)
\(\displaystyle{ s _{2}= s _{1}+a _{2}= \frac{-2}{3!}+ \frac{4}{4!}}\)
\(\displaystyle{ s _{n}=s _{n-1}+(-1) ^{n}\frac{2n}{ ft(n+2 \right)! }}\)
i sumujemy tak długo, aż \(\displaystyle{ \left|s _{n}-s _{n-1} \right| < \epsilon = 10 ^{-10}}\).
Okazuje się, że wystarczy przesumować\(\displaystyle{ n=13}\) wyrazów i wtedy przybliżona suma będzie wynosić \(\displaystyle{ s _{n}=-0,2072766470}\)."
Problem polega na tym, że nie bardzo rozumiem na jakiej podstawie "okazało się" , że należy zsumować właśnie 13 wyrazów, pewnie że można to zrobić na piechotę i sumować kolejno sprawdzając jaka jest różnica pomiędzy sąsiednimi wyrazami, ale chyba nie o to chodzi, tym bardziej ze takich sumowań może się okazać przy innym szeregu znacznie więcej.
Dany jest szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } ft(-1 \right) ^{n} \frac{2n}{ ft(n+2 \right)! }}\)
należy obliczyć jego przybliżona sumę, przyjmując dokładność \(\displaystyle{ \epsilon = 10 ^{-10}}\)
Podane rozwiązanie:
"Sumujemy szereg naprzemienny zbieżny. Jeśli za przybliżoną sumę szeregu będziemy brać n-tą sumę częściową, to błąd bezwzględny miedzy dokładną sumą a jej przybliżeniem nie będzie przekraczał wartości bezwzględnej pierwszego odrzuconego wyrazu czyli \(\displaystyle{ \left|a _{n+1} \right|}\). Zatem będziemy brać tyle wyrazów, aż sąsiednie sumy będą się różnić o mniej niż podana dokładność 0,0000000001.
\(\displaystyle{ s _{1}= \frac{-2}{3!}}\)
\(\displaystyle{ s _{2}= s _{1}+a _{2}= \frac{-2}{3!}+ \frac{4}{4!}}\)
\(\displaystyle{ s _{n}=s _{n-1}+(-1) ^{n}\frac{2n}{ ft(n+2 \right)! }}\)
i sumujemy tak długo, aż \(\displaystyle{ \left|s _{n}-s _{n-1} \right| < \epsilon = 10 ^{-10}}\).
Okazuje się, że wystarczy przesumować\(\displaystyle{ n=13}\) wyrazów i wtedy przybliżona suma będzie wynosić \(\displaystyle{ s _{n}=-0,2072766470}\)."
Problem polega na tym, że nie bardzo rozumiem na jakiej podstawie "okazało się" , że należy zsumować właśnie 13 wyrazów, pewnie że można to zrobić na piechotę i sumować kolejno sprawdzając jaka jest różnica pomiędzy sąsiednimi wyrazami, ale chyba nie o to chodzi, tym bardziej ze takich sumowań może się okazać przy innym szeregu znacznie więcej.