Udowodnij podana nierownosc
: 16 paź 2008, o 17:59
Wykaz ze dla \(\displaystyle{ n \geqslant 6}\) prawdziwa jest nierownosc:
\(\displaystyle{ n! < \left(\frac{n}{2}\right)^n}\)
\(\displaystyle{ n! < \left(\frac{n}{2}\right)^n}\)
n=6 jest prawdda
zał \(\displaystyle{ m\in\mathbb{N}_+\wedge m\geqslant 6}\) :
\(\displaystyle{ m!<\left(\frac{m}{2}\right)^m}\)
zatem
\(\displaystyle{ (m+1)!=m!(m+1)<\left(\frac{m}{2}\right)^m(m+1)=}\)
\(\displaystyle{ =\left(\frac{m+1}{2}\frac{m}{m+1}\right)^m\cdot \left(\frac{m+1}{2}\right)\cdot 2=}\)
\(\displaystyle{ =\left(\frac{m+1}{2}\right)^{m+1}\frac{2}{(1+\frac{1}{m})^m}\leqslant \left(\frac{m+1}{2}\right)^{m+1}}\)