Matematyka.pl

Na zewnątrz trzech boków trójkąta prostąkontnego równoramiennego o przyprostokątnej długości b zbudowano kwadraty. Środki tych kwadratów połączono odcinkami. Wyznaczyć pole otrzymanego trójkąta. Odpowiedź uzasadnij.

Zastanów się, czemu odcinek łączący środki dwóch mniejszych kwadratów przechodzi przez wierzchołek kąta ostrego, a wszystko stanie się jasne:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Podpowiedź: zauważ, że wierzchołek kąta prostego i środki mniejszych kwadratów leżą w tej samej odległości od prostej zawierającej przeciwprostokątną i że środki mniejszych kwadratów są równoodalone od wierzchołka kąta prostego. Dasz radę, a jak nie, napisz.
edit: skasować?

Dop. by T.R.: Nie:)

niestety ale nie moge sobie z tym poradzić

nazwijmy środki kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych A i B, środek kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej - C, wierzchołek kąta prostego danego trójkąta - D. Zauważamy, że dany trójkąt jest połową kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej (porównaj te trójkąty z cech przystawania). Odległość punktów A, B, D od przeciwprostokątnej są równe i wynoszą tyle, co połowa przeciwprostokątnej, czyli z twierdzenia Pitagorasa - \(\displaystyle{ \frac{b\sqrt{2}}{2}}\) (wszystkie bowiem są równe wysokości danego trójkąta opuszczonej na podstawę). Zatem punkty A, B, D leżą na jednej prostej równoległej do przeciwprostokątnej. Ponieważ kwadraty zbudowane na przyprostokątnych są przystające, mamy równość \(\displaystyle{ AD=BD=\frac{b\sqrt{2}}{2}}\). Zatem \(\displaystyle{ AD=b\sqrt{2}}\). Poprowadźmy odcinek przechodzący przez C, równoległy do przeciwprostokątnej o końcach na bokach kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Jego długość wynosi \(\displaystyle{ AD=b\sqrt{2}}\), a odcinek C jest jego środkiem (dlaczego?). Oznaczmy przez M koniec leżący na prostej, która przechodzi przez punkt A i zawiera bok dużego kwadratu, na którym leży M (zastanów się, dlaczego taka prosta istnieje) i odpowiednio N dla punktu B. Zauważamy przystawanie trójkątów AMC i ADC z cechy BKB (MC=AD, MCA=CAD - naprzemianległe - i AC=AC) i analogicznie trójkątów BNC i BDC. Zatem kąty ADC i BDC są proste, więc CD jest wysokością trójkąta ABC. Pole trójkąta ABC jest więc równe \(\displaystyle{ \frac{|AB||CD|}{2}}\). Odległość MN od przeciwprostokątnej jest równa \(\displaystyle{ \frac{b\sqrt{2}}{2}}\) (dlaczego?). Odległość AB od przeciwprostokątnej jest taka sama (równa połowie przekątnej kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej). DC jest prostopadły do MN i AB i na tych odcinkach leżą jego końce, więc skoro MN nie pokrywa się z AB, mamy: \(\displaystyle{ AC=2\frac{b\sqrt{2}}{2}=b\sqrt{2}}\). Zatem szukane pole wynosi \(\displaystyle{ \frac{(b\sqrt{2})^{2}}{2}=b^{2}}\).
Bardziej elementarnie to już chyba trudno będzie. Zrób sobie porządny rysunek to wszystko zobaczysz.

Patrząc z kierunku wskazanym przez strzałkę, widać, że trójkąt zielony ma tę samą podstawę
co niebieski, a wysokość dwa razy większą.

wielkie dzienki, już wszystko jasne