Matematyka.pl

Mam problem z takim zadaniem :

Wykaż, że dla kazdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ n ^{5} -n}\) jest podzielna przez 5.

czyli \(\displaystyle{ n ^{5}}\)- n = 5k

probowalam tu z indukcji mat. sprawdzic czy dla n+1 bedzie prawdziwe ale cos nie za bardzo mi tu wychodzi.

Z gory dziekuje za pomoc !!

\(\displaystyle{ n^{5}-n=n(n^{4}-1)=n(n^{2}+1)(n^{2}-1)=n(n^{2}+1)(n-1)(n+1)=(n-1)n(n+1)(n^{2}+1)}\)

Jeśli żadna z liczb n, n+1 ani n+2 nie jest podzielna przez 5 (bo to by już załatwiało sprawę podzielności całego wyrażenia przez5) , to albo n+3, albo n+4 jest podzielna przez 5.
Rozpatrzmy te dwa przypadki.
a) n+3 jest podzielna przez 5, czyli n+3=5k dla jakiegoś k całkowitego.
Czyli n=5k-3.
Wtedy n^2+1=25k^2 -30k+9+1=5(5k^2-6k+2)
Czyli wtedy czynnik n^2+1 jest podzielny przez 5.
b) n+4 jest podzielna przez 5. Ten przypadek spróbuj rozważyć tak samo.
Ostatecznie udowodnisz, że zawsze któryś z czynników jest podzielny przez 5.