Dwa dowody nierówności Cauchy'ego o średnich

[szymek12]

Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc}}\)
Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ a,b,c,d>0}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c+d}{4} qslant \sqrt[4]{abcd}}\)

[robin5hood]

tu masz ogólnie
https://matematyka.pl/24533.htm?highligh ... %B6rednimi
https://matematyka.pl/85503.htm

[szymek12]

To czytałem i dowód dla uogólnionej wersji też znam, ale chodzi mi konkretnie o te dwa przykłady

[Qń]

Nierówność \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2} \sqrt{xy}}\) wykazać chyba umiesz. Korzystając z niej mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c+d}{4}=\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2} \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2} \sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}=\sqrt[4]{abcd}}\)

Stosując teraz powyższą nierówność dla liczb \(\displaystyle{ a,b,c,\frac{a+b+c}{3}}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c+\frac{a+b+c}{3}}{4}\ge \sqrt[4]{abc\frac{a+b+c}{3}}}\)
i dalej równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[4]{abc\frac{a+b+c}{3}} \\
ft( \frac{a+b+c}{3}\right)^4 abc\frac{a+b+c}{3} \\
ft( \frac{a+b+c}{3}\right)^3 abc \\
\frac{a+b+c}{3} \sqrt[3]{abc}}\)

Q.

[liop]

skad sie wzięło \(\displaystyle{ \frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2}}\)?

i wogole moglby ktos jeszcze jasniej to wyjasnij jak sie da?

[hellsing]

Qń poprostu inaczej zapisał \(\displaystyle{ \frac{a+b+c+d}{4}}\).
Przekształcając pokolei:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c+d}{4} =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{\frac{a+b+c+d}{2}}{2}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2}}\).

[liop]

czyli pomnożył obydwie strony przez 2?

a co do drugiego to skad mu sie wzieło \(\displaystyle{ \frac{a+b+c+\frac{a+b+c}{3}}{4}}\)?

[hellsing]

Nic nie mnożył, po prostu dokonał tych przekształceń, co ja wypisałem...
W wcześniej udowodnionej nierówności przyjął, że \(\displaystyle{ d=\frac{a+b+c}{3}}\).