Matematyka.pl

Z treści zadania - niech:
\(\displaystyle{ A \cup B \cup C = \Omega}\)
\(\displaystyle{ P(B)=2P(A)}\)
\(\displaystyle{ P(C)=3P(A)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A \cap C)=P(B \cap C)}\)

wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6} qslant P(A) qslant \frac{1}{4}}\)

Początkowo rozpisywałem coś ze wzoru na \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)}\), ale wychodziło mi tam szacowanie tylko z prawej strony... Prosiłbym Was więc o pomoc!:-)

Pokazuje się to bardzo prosto:

\(\displaystyle{ 1 \geqslant P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)=2P(A)+3P(A)-P(A\cap C) \geqslant 5P(A)-P(A)=4P(A)}\)

stąd, po obustronnym podzieleniu przez 4:

\(\displaystyle{ P(A) \leqslant \frac{1}{4}}\)

By pokazać drugi warunek, wystarczy wziąć:

\(\displaystyle{ 1 \leqslant P(A)+P(B)+P(C)=6P(A)\ \ \ =>\ \ \ P(A) qslant \frac{1}{6}}\)

Matematyka.pl

Udowodnij nierówność z prawdopodobieństwem

Udowodnij nierówność z prawdopodobieństwem

Udowodnij nierówność z prawdopodobieństwem