Matematyka.pl

Spośród prostopadłościanów o powierzchni \(\displaystyle{ 144 cm^2}\) i krawędziach o łącznej długości \(\displaystyle{ 60cm}\) wybrać prostopadłościany o najmniejszej i największej objętości.

Mógłby ktoś zrobić w miarę krok po kroku? Główny problem pojawia się przy wyznaczaniu dziedziny Stąd chyba to, że nie umiem dokończyć zadania

\(\displaystyle{ \{4a+4b+4c=60\ \Right\ a+b=15-c\\2ab+2ac+2bc=144\ \Right\ ab=72-c(a+b)=72-c(15-c)}\)

\(\displaystyle{ V=abc=\[72-c(15-c)\]c}\)

Pochodna itd.

ap, to jest wręcz banalnie obliczyć. Chodzi mi o ustalenie dziedziny przed wyznaczaniem pochodnej, przedział (0,15) jest bankowo złym przedziałem. I dalej z liczeniem ekstremów. To mi naprawdę w niczym nie pomogło, bo to mam

Wręcz banalne to jest ustalenie, kiedy \(\displaystyle{ V(c)=c(c^2-15c+72)}\) jest ujemne, a kiedy dodatnie - to wyrażenie ma zero tylko przy \(\displaystyle{ c=0}\).
Pochodna równa jest: \(\displaystyle{ 3(c^2-10c+24)}\), co ma pierwiastki w \(\displaystyle{ c=4\ \ c=6}\) i ujemne jest dla \(\displaystyle{ 4\ ab=28}\), tzn. są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^2-11x+28=0}\) stąd \(\displaystyle{ (a=4\ \ b=7)\ \ (a=7\ \ b=4)}\).
Dla \(\displaystyle{ c=6}\) jest \(\displaystyle{ a+b=9\ \ ab=18}\), tzn. sa pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^2-9x+18=0}\) stąd \(\displaystyle{ (a=3\ \ b=6)\ \ (a=6\ \ b=3)}\).

Minimum zapewnia \(\displaystyle{ (a,b,c)=(3,6,6)}\) i wszystkie permutacje, maksimum zapewnia \(\displaystyle{ (a,b,c)=(4,4,7)}\) i wszystkie permutacje.