Matematyka.pl

Sadownik rozmieszcza losowa 25 jabłek i 20 gruszek w szesciu ponumerowanych skrzyniach.

a)na ile sposobów moze rozmiescic wszystkie gruszki?

b)na ile sposobów moze rozmieścić wszystkie jabłka i gruszki?

c)na ile sposobów moze rozmieścic 4 gruszki w szesciu skrzynkach jesli w kazdej skrzynce ma sie znaleźć co najwyżej jeden owoc?

d)rozmieszczamy wszystkie gruszki w 6 skrzynkach. jakie jest prawdopodobienstwo tego, ze dokladnie cztery skrzynki beda puste??


w a) bym odpowiedziala: 20 po 6
w b) 45 po 6
ale w c) juz nie mam pojęcia

a) A ja bym powiedział \(\displaystyle{ {25 \choose 5}}\). Pytanie tylko, dlaczego? Zróbmy to samo na "mniejszym" przykładzie. Mamy 5 gruszek i trzy skrzynie.
\(\displaystyle{ -------}\). Wystarczy wybrać teraz dowolne dwa pola i zamienić je na"|" i otrzymaliśmy podział, np. \(\displaystyle{ --|---|}\)("|" oznacza przegrodę między skrzyniami). W tym przykładzie mamy: 1. skrzynia zawiera dwie gruszki, druga 3, a ostatnia żadnej.
Wszystkich możliwych rozmieszczeń n nierozróżnialnych owoców w m skrzyniach jest zatem: \(\displaystyle{ {n+m-1 \choose m-1}}\)

b) Dla dowolnego rozmieszczenia gruszek możemy dobrać dowolne rozmieszczenie jabłek (jabłka można odróżnić od gruszek).
\(\displaystyle{ { 25 \choose 5}{30 \choose 5}}\)

c) Wybierasz 4 skrzynie, do których włożysz dokładnie jedną gruszkę (pozostałe dwie będą puste), czyli \(\displaystyle{ {6\choose 4}}\)

d) \(\displaystyle{ |\Omega| = {25 \choose 5}}\)(wynik punktu a))
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, że dokładnie 4 skrzynki będą puste.
\(\displaystyle{ |A| = {6 \choose 2}{21 \choose 1}}\). Objaśnienie: Najpierw wybierasz 2 skrzynki, które wypełnisz gruszkami (reszta będzie pusta), a następnie je zapełniasz, w tym celu korzystasz ze wzoru, który otrzymaliśmy w pkt. a.

Pozdrawiam,