Matematyka.pl

ad 1, o ile a>b>0, \(\displaystyle{ \frac{(a-b)^2}{8a} \leq \frac{a+b}{2} -\sqrt{ab} \leq \frac{(a-b)^2}{8b}}\)
ad 2, \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} - \sqrt[3]{abc} \leq max \{ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2, (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2 , (\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\}}\) , o ile a, b, c >0

1)
Lewa nierówność
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)^2}{8a} \leq \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\\
\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{8a} \leq \frac{1}{2}}\)
To jest równoznaczne z
\(\displaystyle{ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \leq 4a}\)
a i b są dodanie więc możemy spierwiastkować
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b} \leq 2\sqrt{a}\\
\sqrt{b} \leq \sqrt{a}\\
b \leq a}\)
Prawa nierównośc pójdzie w ten sam sposób
wydaje mi się że skoro a>b>0 to w tej nierówności również powinna byc nierówość ostra

2) Niech \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\), wówczas nierówność jest równoważna:
\(\displaystyle{ b+6\sqrt{ac} \le 2a+2c+3\sqrt[3]{abc}}\)

Niech: \(\displaystyle{ b=x^3}\) i rozważmy na przedziale \(\displaystyle{ \lbrace \sqrt[3]{c}, \sqrt[3]{a} \rbrace}\) funkcję zadaną wzorem:
\(\displaystyle{ f(x)=x^3-3\sqrt[3]{ac}x-2a-2c+6\sqrt{ac}}\), zauważmy, że:
* na przedziale \(\displaystyle{ \lbrace \sqrt[3]{c}, \sqrt[6]{ac} \rbrace}\) f maleje;
** na przedziale \(\displaystyle{ \lbrace \sqrt[6]{ac}, \sqrt[3]{a} \rbrace}\) f rośnie.

Zatem \(\displaystyle{ f(x) \le max(f(\sqrt[3]{a}),f(\sqrt[3]{c}))}\). Wystarczy więc pokazać, że: \(\displaystyle{ f(\sqrt[3]{a}) \le 0}\) oraz \(\displaystyle{ f(\sqrt[3]{c})\le 0}\), pokażę tą pierwszą nierówność, bo druga idzie analogicznie:

\(\displaystyle{ f(\sqrt[3]{a})=a-3\sqrt[3]{a^2c}-2a-2c+6\sqrt{ac} \le 0 \iff a+2c+3\sqrt[3]{a^2c} \ge 6\sqrt{ac}}\), a to jest prawda, gdyż wynika to natychmiastowo z nierówności między średnimi:
\(\displaystyle{ a+c+c+a^{\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{3}} \ge 6\sqrt[6]{a^{1+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}} \cdot c^{1+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}=6\sqrt{ac}}\).

Sylwek pisze: \(\displaystyle{ b+6\sqrt{ab} 2a+2c+3\sqrt[3]{abc}}\)
(...)
\(\displaystyle{ f(x)=x^3-3\sqrt[3]{ac}x-2a-2c+6\sqrt{ac}}\)

tu masz chyba błąd - najpierw jest \(\displaystyle{ 6 \sqrt{ab}}\) a potem \(\displaystyle{ 6 \sqrt{ac}}\)

Jasne, pomyłka przy przepisywaniu z kartki - już poprawiłem to: \(\displaystyle{ b+6\sqrt{ab}}\) na \(\displaystyle{ b+6\sqrt{ac}}\).