Matematyka.pl

Witam,
Mam problem z następującymi równaniami:
a) |x| + 2x + 1 = 0
b) |x - 1| + 2x + 5 = 0
c) Dla jakich wartości paramteru m równanie |x - 2| = 2m + 1 ma dwa rozwiązania?

Byłbym bardzo wdzięczny jeśli ktoś mógłby mi wyjaśnić jak rozwiązać powyższe równania.

Pozdrawiam,
Gambit

Ogólnie zawsze rozważasz wartości pod modułem, kiedy są dodatnie, a kiedy ujemne itd...
1)|x| to x dla \(\displaystyle{ x q 0}\) oraz -x dla xq 0[/latex]
x+2x+1=0 czyli \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{3}}\) a to nie spełnia naszego przedziału czyli tutaj nie ma rozwiązania.
W drugim przypadku mamy, że xq 1[/latex] oraz 1-x dla xq 2[/latex] oraz 2-x dla xq 2[/latex] czyli \(\displaystyle{ m q -\frac{1}{2}}\).
W drugim przypadku mamy, że:
2-x=2m+1 czyli x=1-2m i z założeń wynika, że 1-2m-\frac{1}{2}[/latex].
Odpowiedź to część wspólna czyli \(\displaystyle{ m>-\frac{1}{2}}\).

THX a lot Już rozumiem.

Mam jeszcze tylko pytanko odnośnie podpunktu 3. A jak sprawdzić dla jakich parametrów m równanie ma jedno rozwiązanie?

Pozdrawiam,
Gambit

Równanie to ma TYLKO jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ m=-\frac{1}{2}}\) .Dlaczego? Ponieważ jeśli bierzemy sumę, a nie część wspólną to otrzymujemy, dla jakich m równanie to ma jedno LUB dwa rozwiązania a jeśli z tej sumy wyłączymy część wspólną to otrzymamy dla jakich m równanie to ma TYLKO jedno rowiązanie:)

Albo inaczej. Powyższe równanie ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy wyrażenie w wartości bezwzględnej jest równe zero, a co za tym idzie wyrażenie "2m + 1" musi być równe zero. I jest to trochę krótsze niż rozpatrywanie przypadków:)

Pozatym skoro | x-2|=2m+1 to z def jasne jest że 2m+1>=0 czyli m>=1/2. ponieważ dla 2m+1=0 mamy jedno rozwiązanie x=2, to możemy od razu odrzucamy m=1/2. tak więc rozpatrujemy przypadki m>1/2 a wtedy mamy dwa rozwiązania : x= 2m+3 i x=1-2m. wydaje mi się że dorbze mówię, ktoś może skontrolować?