Matematyka.pl

1) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\cos \frac{1}{n})^{n^{2}}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\sqrt{5^n-6^n+13^n}}\)

Prosiłbym o rozpisanie tych dwóch przykładów. W pierwszym wychodzi symbol nieoznaczony\(\displaystyle{ 1^ \infty}\) i trzeba to poprzekształcać, tylko nie wiem jak. (d'Hospital?)
Drugi przykład to Tw. o 3 ciągach, ale nie wiem dokładnie jak to z tym minusem pod pierwiastkiem.

W drugim przykładzie wyciągnij pod pierwiastkiem, przed nawias, \(\displaystyle{ 13^n}\) a wyjdzie ci granica \(\displaystyle{ \infty}\)
W pierwszym przykładzie przekształć do postaci \(\displaystyle{ e^{n^2}\cdot ln(cos \frac{1}{n})}\) i spróbuj policzyć taką granicę, znowu mamy tutaj symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \infty\cdot 0}\)

1)
\(\displaystyle{ (cos(\frac{1}{n})^{n^2} = (1 + (cos\frac{1}{n}-1))^{n^2} = =\left(1 + (cos\frac{1}{n}-1)\right)^{\frac{1}{cos\frac{1}{n}-1}^{\frac{cos\frac{1}{n} - 1}{\frac{1}{n^2}}}} e^{\lim_{n\to } \frac{cos\frac{1}{n} - 1}{\frac{1}{n^2}}} = e^{-\frac{1}{2}}}\)
Ponieważ:
\(\displaystyle{ \frac{cos\frac{1}{n} - 1}{\frac{1}{n^2}} = \frac{-2 sin^{2}\frac{1}{2n}}{4 ft(\frac{1}{2n}\right)^{2}} -\frac{1}{2}}\)

Z Hospitalem tu ciężko będzie, bo to są ciągi.
1. Można i tak
\(\displaystyle{ \left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(1-2\sin^2 \frac{1}{2n}\right)^{n^2}=\\
=\left[\left(1-2\sin^2 \frac{1}{2n}\right)^{\frac{1}{2\sin^2\frac{1}{2n}}\right]^{\frac{\sin^2\frac{1}{2n}}{\left(\frac{1}{2n}\right)^2}\cdot \frac{1}{2}}}\)
Nawias kwadratowy dąży do \(\displaystyle{ e^{-1}}\), ułamek z sinusem (w wykładniku) do 1, czyli całość do
\(\displaystyle{ e^{-1\cdot 1\cdot\frac{1}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}}\)

Może ktoś rozpisać dlaczego
\(\displaystyle{ cos \frac{1}{n}-1 = - 2sin^{2} \frac{1}{2n}}\)
bo pogubiłem się w obliczeniach i mi nie wychodzi..
/chodzi o dowód tej tożsamości wychodząc od lewej strony/

Korzystam ze wzoru:
\(\displaystyle{ cos2x = 1 - 2sin^{2}x}\)
Wobec tej tożsamości:
\(\displaystyle{ cos \frac{1}{n} - 1 = 1-2sin^{2} \frac{1}{2n} - 1 = -2sin^{2}\frac{1}{2n}}\)