teoria miary, funkcja mierzalna.
: 8 paź 2008, o 12:16
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją mierzalną określoną na przestrzeni \(\displaystyle{ (E, \mathcal{J} )}\) , a \(\displaystyle{ \mu}\) niech będzie \(\displaystyle{ s}\)-skończoną miarą określoną na tej przestrzeni. Pokazać
a) Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest nieujemna na \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ \int_{E} f(x)d \mu (x)=0}\), to \(\displaystyle{ f(x)=0\ \mu}\)- prawie wszędzie
b) Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest dodatnia na \(\displaystyle{ E}\) (\(\displaystyle{ \mu}\) prawie wszędzie) i \(\displaystyle{ \mu (E) > 0}\) , to \(\displaystyle{ \int_{E} f(x)d \mu (x)>0}\)
c)Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie funkcją mierzalną określoną na przestrzeni \(\displaystyle{ (E, \mathcal{J} )}\) .
Jeżeli \(\displaystyle{ f > g}\) (\(\displaystyle{ \mu}\) prawie wszędzie), to
\(\displaystyle{ \int_{E} f(x)d \mu (x) > \int_{E} g(x)d \mu (x)}\)
a) Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest nieujemna na \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ \int_{E} f(x)d \mu (x)=0}\), to \(\displaystyle{ f(x)=0\ \mu}\)- prawie wszędzie
b) Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest dodatnia na \(\displaystyle{ E}\) (\(\displaystyle{ \mu}\) prawie wszędzie) i \(\displaystyle{ \mu (E) > 0}\) , to \(\displaystyle{ \int_{E} f(x)d \mu (x)>0}\)
c)Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie funkcją mierzalną określoną na przestrzeni \(\displaystyle{ (E, \mathcal{J} )}\) .
Jeżeli \(\displaystyle{ f > g}\) (\(\displaystyle{ \mu}\) prawie wszędzie), to
\(\displaystyle{ \int_{E} f(x)d \mu (x) > \int_{E} g(x)d \mu (x)}\)