lukas_7 pisze:Wykazać, że jeśli wektory \(\displaystyle{ x, y, z}\) są liniowo niezależne to wektory \(\displaystyle{ u=w, w=x+y, v=x+y+z}\) są też liniowo niezależne. Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe? Zaproponować uogólnienie powyższego faktu dla dowolnej liczby wektorów.
Założyłem, że tam jest literówka, i ma być (chyba) u=x, w przeciwnym przypadku u,w,z są one liniowo zalezne
\(\displaystyle{ au+bw+cv=ax+bx+by+cx+cy+cz=(a+b+c)x+((b+c)y+cz=0.}\)
Z założenia x,y, z są niezależne liniowo, a więc równość zachodzi tylko dla
\(\displaystyle{ (a+b+c=0 b+c=0 c=0) a=b=c=0,}\) co oznacza, że wektory u, w, z są liniowo niezależne.
Wydaje mi się, że twierdzenie odwrotne jest prawdziwe. Gdyby wektory x, y, z były liniowo zalezne, to ich dowolna kombinacja liniowa, też byłaby liniowo zalężna i u,w,v nie mogłyby być liniow nieależnymi.
Uogólnieniem dla skończonej liczby wektorów (bo nie wiem, jak się rzecz ma w nieskończoności) mogłoby być:
Jeżeli wektory
\(\displaystyle{ x_1, x_2,...,x_n}\) są liniowo niezależne i
\(\displaystyle{ b_k= \sum_{i=1}^{k}x_i , \ (k=1,2,...,n),}\) to wektory
\(\displaystyle{ b_1,b_2,...b_n}\) są liniowo niezależne.