Matematyka.pl

Ze zbioru {1,2,3,..,n} tworzymy wszystkie 3 wyrazowe ciągi o wyrazach należących do tego zbioru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany losowo jeden ciąg będzie rosnący lub malejący?

\(\displaystyle{ |\Omega}= {n \choose 1} \cdot {n \choose 1} \cdot {n \choose 1}= n^{3}}\)

A-zdarzenie polegające na otrzymaniu ciągu rosnącego lub malejącego

\(\displaystyle{ |A|= {n \choose 1} \cdot {n-1 \choose 1} \cdot {n-2 \choose 1} \cdot 2}\) (wiadomo, że liczba ciągów rosnących będzie taka sama jak ciągów malejących, zatem liczbę ciągów malejących mnozymy przez 2 i mamy odpowiedni wynik)

Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2(n-1)(n-2)}{n ^{2} }}\)


Tyle, że wynik nijak nie zgadza mi się z odpowiedzią podaną do zadania. Jestem pewna, że błąd występuje przy obliczniu mocy \(\displaystyle{ A}\) - tylko jaki? Czy ktoś mógłby mi wskazać błąd w rozumowaniu przy liczeniu mocy \(\displaystyle{ A}\) ?

Ciri123 pisze:A-zdarzenie polegające na otrzymaniu ciągu rosnącego lub malejącego
\(\displaystyle{ |A|= {n \choose 1} \cdot {n-1 \choose 1} \cdot {n-2 \choose 1}}\)

To co napisałaś (bez dwójki) to ilość ciągów o różnych elementach, nie zaś ciągów monotonicznych.

Ilość tych ostatnich to \(\displaystyle{ {n \choose 3}\cdot 2}\) - najpierw wybieramy które trzy elementy będą w naszym ciągu, a potem ustawiamy je albo rosnąco albo malejąco.

Dodatkowo nie jest powiedziane o jakie ciągi nam chodzi w zadaniu - jeśli uznajemy, że mają mieć różne elementy (czyli np. \(\displaystyle{ (1,1,1)}\) odpada), to moc omegi jest równa \(\displaystyle{ n(n-1)(n-2)}\) i w takim wypadku wyjdzie też eleganckie prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). A jeśli dopuszczamy ciągi nieróżnoelementowe, to odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}\cdot \frac{(n-1)(n-2)}{n^2}}\).

Q.