Matematyka.pl

Witam. Chciałbym zapytac czy moje rozumowanie jest poprawne. Otóz:
określmy zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR^N}\)
\(\displaystyle{ o \left( A \right) =\inf \left\{ \sum_{n=1}^{ \infty } vol_N \left( P_n \right) : A \subset \bigcup_{n=1}^{ \infty }P_n \wedge P_n-\mbox{otwarty}, n \in \NN \right\} ,\\
d \left( A \right) =\inf \left\{ \sum_{n=1}^{ \infty } vol_N \left( P_n \right) : A \subset \bigcup_{n=1}^{ \infty }P_n \wedge P_n-\mbox{domknięty}, n \in \NN \right\} \\
p \left( A \right) =\inf \left\{ \sum_{n=1}^{ \infty } vol_N \left( P_n \right) : A \subset \bigcup_{n=1}^{ \infty }P_n \right\} ,}\)
gdzie
\(\displaystyle{ vol_NP_n}\) oznacza objetosc
Mam do udowodnienia następujący lemat
\(\displaystyle{ o \left( A \right) =d \left( A \right) =p \left( A \right)}\)

Chodzi mi teraz o konkretny przypadek, gdy \(\displaystyle{ o \left( A \right) = \infty}\)
Prosze o sprawdzenie czy dobrze rozumuje:)
Otóz
\(\displaystyle{ o \left( A \right) \leqslant \sum_{n=1}^{ \infty } vol_N \left( P_n \right) = \sum_{n=1}^{ \infty } vol_Ncl \left( P_n \right) < d \left( A \right) + \epsilon}\)
Przy \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\) mamy \(\displaystyle{ o \left( A \right) \leqslant d \left( A \right)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ o \left( A \right) = \infty}\), wiec \(\displaystyle{ o \left( A \right) =d \left( A \right)}\)...teraz korzystając z określenia \(\displaystyle{ p \left( A \right)}\) i \(\displaystyle{ o \left( A \right)}\) wynika \(\displaystyle{ p \left( A \right) \leqslant o \left( A \right)}\) i teraz mam kłopot z udowodnieniem, ze \(\displaystyle{ o \left( A \right) \leqslant p \left( A \right)}\)...z góry dziękuje za wskazówki;)

Nie jestem ekspertem w tej gałęzi analizy, ale tak na oko: czy tam nie powinno być jakiegoś infimum przy tych sumach? Bo jeśli sumujemy po dowolnych \(\displaystyle{ P_n}\), to w tej postaci wszystkie trzy funkcje od zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie są zdefiniowane jednoznacznie.

Q.

racja, racja;)...niedopatrzenie juz poprawione;)