Matematyka.pl

Dany jest trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ABC}\) w którym \(\displaystyle{ AC=3}\) \(\displaystyle{ BC=4}\) \(\displaystyle{ C}\) jest wierzchołkiem kąta prostego, a \(\displaystyle{ CD}\) wysokością trójkąta. Oblicz promienie okręgów wpisanych w trójkąty \(\displaystyle{ ABC, ACD, CBD}\) oraz promienie okręgów opisanych na tych trójkątach.

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono dwie proste równoległe do boku \(\displaystyle{ AB}\). proste te podzieliły trójkąt na trzy figury o równych polach. Oblicz długości odcinków, na jakie te proste podzieliły bok \(\displaystyle{ AC}\), jeśli odcinek \(\displaystyle{ AC}\) ma długość \(\displaystyle{ 3\sqrt{3}}\)

1. Trójkąty ABC, CBD i ACD są podobne. Obliczasz promienie dla ABC oraz skale podobieństwa i wyliczasz promienie dla dwóch pozostałych trójkątów.
2. Punkty wyznaczone na bokach:
\(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ A_1}\), \(\displaystyle{ A_2}\), \(\displaystyle{ C}\) na boku \(\displaystyle{ AC}\) (w takiej kolejności)
\(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ B_1}\), \(\displaystyle{ B_2}\), \(\displaystyle{ C}\) na boku \(\displaystyle{ BC}\) (w takiej kolejności)
Trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ A_1B_1C}\) i \(\displaystyle{ A_2B_2C}\) są podobne w skalach odpowiednio \(\displaystyle{ k_1}\), \(\displaystyle{ k_2}\) takich, że \(\displaystyle{ k_1^2=\frac{2}{3}}\) i \(\displaystyle{ k_2^2=\frac{1}{3}}\). Z tego wyliczasz długości odcinków \(\displaystyle{ CA_1}\) i \(\displaystyle{ CA_2}\), następnie \(\displaystyle{ A_1A_2}\) i \(\displaystyle{ AA_1}\).