Matematyka.pl

Mam teraz kilka ciekawych, ale raczej średniej urody, zadań, więc może spróbuję później wrzucić któreś poza tym wątkiem, a tutaj oddaję kolejkę.

Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą liczbami dodatnimi oraz \(\displaystyle{ a+b+c \leq 4}\) i \(\displaystyle{ ab+bc+ca \geq 4}\)
Udowodnić, że co najmniej dwie z tych nierówności mają miejsce:

\(\displaystyle{ |a-b| \leq 2}\)
\(\displaystyle{ |b-c| \leq 2}\)
\(\displaystyle{ |c-a| \leq 2}\)

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b }\) są liczbami naturalnymi, to \(\displaystyle{ |a\sqrt{2}- b| > \frac{1}{2a+2b}. }\)

\(\displaystyle{ |2a^2-b^2|\geq 1> \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2(a+b)}{2(a+b)}>\frac{\sqrt2a+b}{2a+2b}}\)
i teza wynika z faktu, że \(\displaystyle{ |2a^2-b^2|=(\sqrt2a+b)|\sqrt2a -b|}\)

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2=1}\) to \(\displaystyle{ xy(x^2+y^2) \geq -2}\).

można podać następne...

Dodano po 6 godzinach 17 minutach 35 sekundach:
to wyrażenie to jest \(\displaystyle{ a(1-a)}\) gdy \(\displaystyle{ a = x^2+y^2 \geq 0}\)

Nowe zadanie:

niech \(\displaystyle{ a, \ b, \ c\in \RR^{+}}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \left(\frac a b+\frac b c+\frac c a\right)^2\ge (a+b+c)\left(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c\right)}\).

PS Premislav zadaje. Oczywiście jeśli chce oraz uzna za słuszne takie rozwiązanie.

Piękne rozwiązanie. Moje używało mocniejszych narzędzi i przez to wydaje mi się bardziej „na siłę". Dodano po 11 godzinach 38 minutach 49 sekundach:
Nie wrzucałem nowego zadania, bo późno (wcześnie?) było i już zmierzałem w stronę łóżka. Oto ono (zadanie, nie łóżko ):

niech \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d\in \RR}\) oraz \(\displaystyle{ a^2\le 1, \ a^2+b^2\le 5, \ a^2+b^2+c^2\le 14, \ a^2+b^2+c^2+d^2\le 30}\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ a+b+c+d\le 10}\).

Zamieszczę swoje szkice rozwiązań ostatnich zadań. Jeśli jest dobrze, to następna:
Dla \(a,b,c>0\), takich że \(a+b+c=3\), udowodnij \[ab+bc+ca\ge\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)ab^2c.\]

Oczywiście jedyny interesujący przypadek to ten, kiedy `b=\max(a,b,c)`.
Wtedy `1<b<3`.
Dzielimy obie strony przez abecadło i z wypukłości `1/x` dostajemy, że \(\displaystyle{ \frac1a+\frac1c\ge\frac4{a+c}=\frac{4}{3-b}. }\)
Do pokazania mamy zatem nierówność
\(\displaystyle{ \frac{4}{3-b}+\frac1b\ge \left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)b}\), która jest równoważna
\(\displaystyle{ 3\frac{b+1}{(3-b)b^2}\ge\left(1+\frac2{\sqrt{3}}\right)}\) i łatwo sprawdzić, że funkcja z lewej strony osiąga tę minimalną wartość przy `b=\sqrt{3}`.

To może takie:

\(\displaystyle{ \frac{\log_b \ a}{a+b} + \frac{\log_c \ b}{b+c} + \frac{\log_a \ c}{a+c} \geq \frac{9}{2(a+b+c)} }\)

To nieprawda dla \(\displaystyle{ a=c=\frac 12, \ b=2}\). Mamy wtedy LHS\(\displaystyle{ <1}\) oraz RHS\(\displaystyle{ =\frac 32}\). Może zabrakło tu jakichś założeń?

Dodano po 15 minutach 55 sekundach:
Jeśli na przykład \(\displaystyle{ a>1, \ b>1, \ c>1}\), to zadanie robi się trywialne. Przechodzimy na logarytmy naturalne i wtedy LHS tak się przedstawia:
\(\displaystyle{ \sum_{\text{cyc}}^{} \frac{\frac{\ln a}{\ln b}}{a+b}}\).
Te logarytmy są wówczas dodatnie, więc na mocy AM-GM jest to co najmniej \(\displaystyle{ \frac{3}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}}\)
i pozostaje udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{3}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}\ge \frac 9{2(a+b+c)}}\), a to wynika łatwo z nierówności między średnią geometryczną a harmoniczną dla trzech zmiennych, \(\displaystyle{ \frac1{a+b}}\) i tak dalej.

Może przyjęte przeze mnie założenia można osłabić, ale nie wiem jak. Kaczyński zmartwychwstał, prawdziwie zmartwychwstał.

Dodano po 7 dniach 12 godzinach 39 minutach 54 sekundach:
Jeśli poprzedniemu zadaniu nie brakowało założeń, to obaliłem tezę (szkoda, że nie mogę obalić połóweczki, ale zdrowie nie pozwala), jeśli brakowało - spróbowałem naprawić ten problem, więc teraz wrzucę nowe, prościutkie zadanie (kiedyś wrzucałem takie, których sam nie mogłem ugryźć i może było to złe podejście):
niech \(\displaystyle{ a_1, \ a_2\ldots a_n \in \RR, \ a_1\ge a_2\ge \ldots \ge a_n\ge 0, \ a_1+a_2+\ldots+a_n=1}\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ a_{1}^2+3a_{2}^2+5a_{3}^2+\ldots+(2n-1)a_{n}^2\le 1}\) i rozstrzygnij, kiedy zachodzi równość w nierówności.