Ukryta treść:
Nierówność jest równoważna $$3+\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\le 2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right).$$
Z Cauchy'ego-Schwarza mamy $$2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)=2\left(\frac{b^2}{ab}+\frac{c^2}{bc}+\frac{a^2}{ca}\right)\ge\frac{2(a+b+c)^2}{ab+bc+ca},$$ więc wystarczy dowieść $$3+\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\le\frac{2(a+b+c)^2}{ab+bc+ca},$$ czyli $$3(ab+bc+ca)+2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{2abc}{b+c}+\frac{2bca}{c+a}+\frac{2cab}{a+b}\le 2(a+b+c)^2.$$
Po zredukowaniu wyrazów podobnych pozostaje do udowodnienia $$\frac{2abc}{b+c}+\frac{2bca}{c+a}+\frac{2cab}{a+b}\le ab+bc+ca,$$ a to jest prawda na mocy AM-HM, bo $$\frac{2abc}{b+c}+\frac{2bca}{c+a}+\frac{2cab}{a+b}=\frac{2a}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{2b}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{2c}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{a(b+c)}{2}+\frac{b(c+a)}{2}+\frac{c(a+b)}{2}=ab+bc+ca.$$
Równość mamy wtw, gdy \(\displaystyle{ a=b=c=\frac{1}{3}}\).
PS Tak, to prawda, tyle że nie w Moskwie, lecz w Leningradzie, nie na Placu Czerwonym, lecz... Otóż poprzednie zadanie ode mnie pochodzi z puli zadań dla klas dziesiątych finałowego etapu Ogólnorosyjskiej Olimpiady Matematycznej na rok szkolny 2001-2002, a ponadto w oryginalnym sformułowaniu dotyczy liczb dodatnich.
Z Cauchy'ego-Schwarza mamy $$2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)=2\left(\frac{b^2}{ab}+\frac{c^2}{bc}+\frac{a^2}{ca}\right)\ge\frac{2(a+b+c)^2}{ab+bc+ca},$$ więc wystarczy dowieść $$3+\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\le\frac{2(a+b+c)^2}{ab+bc+ca},$$ czyli $$3(ab+bc+ca)+2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{2abc}{b+c}+\frac{2bca}{c+a}+\frac{2cab}{a+b}\le 2(a+b+c)^2.$$
Po zredukowaniu wyrazów podobnych pozostaje do udowodnienia $$\frac{2abc}{b+c}+\frac{2bca}{c+a}+\frac{2cab}{a+b}\le ab+bc+ca,$$ a to jest prawda na mocy AM-HM, bo $$\frac{2abc}{b+c}+\frac{2bca}{c+a}+\frac{2cab}{a+b}=\frac{2a}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{2b}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{2c}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{a(b+c)}{2}+\frac{b(c+a)}{2}+\frac{c(a+b)}{2}=ab+bc+ca.$$
Równość mamy wtw, gdy \(\displaystyle{ a=b=c=\frac{1}{3}}\).
PS Tak, to prawda, tyle że nie w Moskwie, lecz w Leningradzie, nie na Placu Czerwonym, lecz... Otóż poprzednie zadanie ode mnie pochodzi z puli zadań dla klas dziesiątych finałowego etapu Ogólnorosyjskiej Olimpiady Matematycznej na rok szkolny 2001-2002, a ponadto w oryginalnym sformułowaniu dotyczy liczb dodatnich.