[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: mol_ksiazkowy »

To wynika z wypukłości f (lewa strona nierówności) na każda zmienną tj. gdy maksimum jest na krańcu przedziału oraz tego, że w tych ośmiu punktach ma wartość \(\displaystyle{ 1 }\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Zgadza się, taka jest też wzorcówka od Mildorfa. Można wrzucać następny problemat.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: mol_ksiazkowy »

Inna z Kwanta:

Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ x, y }\) są dodatnie, to \(\displaystyle{ x 2^y + y 2^{-x} \geq x+y.}\)
Ostatnio zmieniony 13 lip 2022, o 17:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Dodano po 9 godzinach 33 minutach 49 sekundach:
Nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ n\ge 2}\) będzie ustaloną liczbą całkowitą dodatnią i niech \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots a_n\in \RR^+, \ a_1+a_2+\ldots+a_n=2^n-1}\).
Proszę znaleźć minimum
\(\displaystyle{ \frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{1+a_1}+\ldots+\frac{a_n}{1+a_1+\ldots+a_{n-1}}}\).
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 »

Ukryta treść:    
nowe: co jest większe: \(\displaystyle{ \left(\frac 65\right)^{\sqrt 3}}\) czy \(\displaystyle{ \left(\frac 54\right)^{\sqrt 2}}\)?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ m>n>0}\) i niech liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ x, \ y, \ z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}=3}\).
Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{x^m}{y^n}+\frac{y^m}{z^n}+\frac{z^m}{x^n}\ge 3}\).
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 »

Premislav pisze: 14 wrz 2022, o 15:49
Ukryta treść:    
no tak średnio bym powiedział
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Oj tam, oj tam. Świat byłby dużo prostszy, gdyby zachodziło \(\displaystyle{ \frac 5 4=1,2}\) (a tak właśnie pomyślałem, pisząc tę kaszanę). xDDD
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Dobra, teraz wrzucę poprawne rozwiązanie, posypawszy głowę popiołem.
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2022, o 10:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Bump. Chyba teraz jest dobrze, więc czas na:
Premislav pisze: 14 wrz 2022, o 15:49

Nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ m>n>0}\) i niech liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ x, \ y, \ z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}=3}\).
Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{x^m}{y^n}+\frac{y^m}{z^n}+\frac{z^m}{x^n}\ge 3}\).
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Ukryta treść:    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

To zadanie trzeba odczarować, bo ktoś jeszcze gotów byłby pomyśleć, że ono jest trudne.
Dla \(a,b,c>0\) udowodnij \[\frac{2a^4+a^2b^2}{\left(b^2+c^2+ca\right)^2}+\frac{2b^4+b^2c^2}{\left(c^2+a^2+ab\right)^2}+\frac{2c^4+c^2a^2}{\left(a^2+b^2+bc\right)^2}\ge 1.\]
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Dostajesz pisemną pochwałę za dołożenie należytej staranności przy orzeczeniach imiennych.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

^Robi wrażenie, zdecydowanie zgrabniejsza metoda.

Nowe zadanie: niech \(\displaystyle{ x,y,z\ge 0}\). Wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{25(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^2} \ge 8.}\)
ODPOWIEDZ