[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

[Wasilewski]

Jensen dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = csc(x)}\)

[binaj]

Jensen dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = csc(x)}\)

co to jest \(\displaystyle{ csc(x)}\)?

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ \csc(x) = \frac{1}{\sin x}}\)

[Pablo09]

Mozna tez z herona podstawić \(\displaystyle{ S}\), dalej z Shura , do kwadratu i mamy prawdzwwią nierównośc \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 \geqslant xy+yz+xz}\) !

[Dumel]

A jak wygląda firmówka (o ile takowa istnieje)?

firmówka jest tak poryta że nie warto jej pokazywać
moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{4S}= \frac{4S \cdot R( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )}{4S}=R( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) \geqslant \frac{9R}{a+b+c}= \frac{9R}{2R(\sin x+\sin y+\sin z)}=\\= \frac{9}{2(\sin x+\sin y+\sin z)} \geqslant \frac{9}{2 \cdot 3 \cdot \sin \frac{\pi}{3}}= \sqrt{3} }\)
po kolei:
\(\displaystyle{ S=\frac{abc}{4R}, SA>SH}\), tw. sinusów, nierówność Jensena

[ Dodano: 5 Października 2008, 16:21 ]
jak ktoś chce zerknąć na wzorówke, to jest w różowym zbiorze Pawłowskiego - to było zadanie z III rozdziału nie pamietam numeru
___
było w tym roku w Zwardoniu, ale poziom raczej II etapu:
udowodnij że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a_1, a_2,...,a_n}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^3}{a_i^2+a_ia_{i+1}+a_{i+1}^2} \geqslant \frac{ \sum_{i=1}^{n}a_i }{3}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{i+1}=a_1}\)

[robin5hood]

wykaż że zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+3ab}}\ge \frac{3}{2}}\)
dla boków trójkąta

[Sylwek]

było w tym roku w Zwardoniu, ale poziom raczej II etapu

Od razu widać, że wyrazy po lewej stronie występują tylko w dwóch wyrażeniach z tej sumy, zatem jeśli udowodnimy lemat postaci:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \frac{ka+(1-k)b}{3}}\) dla pewnego k i dodamy tą nierówność stronami n razy, to otrzymamy tezę zadania. Wymnażając, lemat jest równoważny: \(\displaystyle{ 3a^3+kb^3 ka^3+a^2b+ab^2+b^3}\) - stąd można wysnuć wnioski: \(\displaystyle{ a 0 kb^3 b^3 k 1}\), analogicznie: \(\displaystyle{ b 0 3a^3 ka^3 k 3}\) - można się jeszcze trochę pobawić, w każdym razie dość szybko można się domyśleć, że k=2 pasuje. Dodając stronami n nierówności poniższej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{a_i^3}{a_i^2+a_ia_{i+1}+a_{i+1}^2} \frac{2a_i - a_{i+1}}{3}}\)
dla i=1,2,...,n dostajemy tezę zadania.



Co do ostatniej nierówności, to stosując Jensena dla \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}}\) dostajemy do udowodnienia coś takiego:
\(\displaystyle{ 12(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b) 5(a^3+b^3+c^3)+57abc}\), teraz wykonując standardowe podstawienie otrzymujemy udowodnić coś takiego dla liczb dodatnich x,y,z (mam nadzieję, że nie pomyliłem się przy działaniach):
(*) \(\displaystyle{ 14(x^3+y^3+z^3)+30xyz 12(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y)}\)
Co jest prawdą, gdyż:
(**) \(\displaystyle{ 10 \left(x^3+y^3+z^3+3xyz \right) 10 \left(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y \right)}\) - to jest nierówność Schura
(***) \(\displaystyle{ 4(x^3+y^3+z^3) 2(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y)}\) - to wynika np. z nierówności o ciągach jednomonotonicznych, można tez wszystko przerzucić na jedną stronę i zwinąć
Dodając (**) i (***) otrzymujemy (*), a to jest warunek dostateczny prawdziwości nierówności zadania.

\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}}\)

Mógłbyś przedstawić wzorcówkę? Wymnażając "na pałę" wyjdzie, ale chyba chodzi tu o to, żebyśmy się czegoś nauczyli.

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}}\)

Mógłbyś przedstawić wzorcówkę? Wymnażając "na pałę" wyjdzie, ale chyba chodzi tu o to, żebyśmy się czegoś nauczyli.

Zgadzam się z przedmówcą. To zadanie pozostało jakby bez komentarza, a przyznam się, że żadnego oryginalnego pomysłu tutaj nie miałem (poza robieniem na chama). To samo się tyczy pierwszej nierówności...

[limes123]

Niestety nie mam rozwiązania... Myslalem, ze czegos w tym nie widze ale okazuje sie, ze chyba jest jednak trudne. Zadanie jest z mathscope'a i nie ma ani rozwiązania ani nawet wskazówki.

[binaj]

mam pytanko, gdy korzystamy z nierówności Jensena na OM to trzeba dowieść, że dana funkcja jest wypukła czy wystarczy tylko napisać?

[mdz]

Trzeba, pomijając oczywiście trywialne przypadki. Czasami okazuje się to równie skomplikowane co samo zadanie.

[Piotr Rutkowski]

Trzeba, pomijając oczywiście trywialne przypadki. Czasami okazuje się to równie skomplikowane co samo zadanie.

Albo dużo bardziej... Looknij sobie zadanie 6 z II etapu 2 lata temu. Trzeba tam wiedzieć jak sobie radzić z jensenem przy wielu zmiennych.

[Dumel]

kto ma pomysł na to:
\(\displaystyle{ a,b,c,d \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16}\)
udowodnij że:
\(\displaystyle{ a+b+c+d \geqslant \frac{2}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\)

[Wasilewski]

https://matematyka.pl/548.htm
Tu coś jest na ten temat. Podanego rozwiązania nie chciało mi się czytać, ale życzę wytrwałości.

[Piotr Rutkowski]

kto ma pomysł na to:
\(\displaystyle{ a,b,c,d \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16}\)
udowodnij że:
\(\displaystyle{ a+b+c+d \geqslant \frac{2}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\)

Ja jednak proponuję wrzucać tutaj jakieś robialne nierówności. Jeśli ktoś życzy sobie rozwiązanie do jakiejś super-wypasionej nierówności to polecam mathlinks... Nie o to chodzi, że mamy słabą ekipę, bo tak nie jest, ale temat z założenia ma przygotować na II etap, a nawet na zeszłorocznym finale nierówność była wprost żałosna, więc wniosek nasuwa się sam..