Matematyka.pl

1. Wykaż, że jeżeli m \(\displaystyle{ \in}\) C to \(\displaystyle{ m^{6}-2m^{4}+m^{2}}\) jest podzielne przez 36.

2. Wykaż, że jeśli n \(\displaystyle{ \in}\) N to \(\displaystyle{ (n+2)^{4}-n^{4}}\) jest podzielne przez 8.

3. Dla jakich n \(\displaystyle{ \in}\) N liczba \(\displaystyle{ n^{2}+4n-8}\) jest kwadratem liczby naturalnej?

Z góry dzieki za pomoc

1) Zwijamy do \(\displaystyle{ m^{2} (m^{4} - 2m^{2} + 1) = m^2 (m^{2} - 1)^2=
m^{2}(m+1)(m-1)(m+1)(m-1)}\)
Zauwazmy, ze zawsze znajdziemy dwa czynniki podzielne przez 2 oraz dwa czynniki podzielne przez 3 co konczy dowod
2) \(\displaystyle{ (n+2)^{4} - n^{4} = (n^2+4n+4)(n^2+4n+4) - n^{4} = n^{4} + 4n^{3} + 4n^{2} + 4n^{3} + 16n^{2} + 16{n} + 4n^{2} + 16n + 16 - n^{4} = 8n^{3} + 24 n^{2} + 32n + 16 = 8(n^{3} + 3 n^{2} + 4n + 2)}\) co konczy dowod.