Matematyka.pl

mam podane dwa wektory (nic więcej) i informację, że mają wspólny początek
jak obliczyć jego pole?
współrzędne:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[7,1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AD}=[2,4]}\)

nie mam nic więcej podane... pliz help...

Wzór na pole równoległoboku wyraża się wzorem \(\displaystyle{ a\cdot b\cdot \sin }\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \vec{AB}=\vec{u}}\), gdzie \(\displaystyle{ u_{x}=7,u_{y}=1}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{AD}=\vec{v}}\), gdzie \(\displaystyle{ v_{x}=2, v__{y}=4}\)
My, z danych które posiadamy, bez problemu uzyskamy \(\displaystyle{ \sin }\), ponieważ skorzystamy z iloczynu skalanrego wektorem, a dokładniej z wzoru:
\(\displaystyle{ \cos(\angle (\vec{u},\vec{v}))=\frac{u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}}\), gdzie korzystamy z wzoru na długość wektora, który wyraża się następująco:\(\displaystyle{ |\vec{v}|=\sqrt{(v_{x})^2+(v_{y})^2}}\)
Podstawiając otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |\vec{u}|=5 \sqrt2}\) oraz \(\displaystyle{ |\vec{v}|=2 \sqrt5}\). Dane te postawiamy do wcześniejszego wzoru i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \cos(\angle (\vec{u},\vec{v}))=\frac{9}{5 \sqrt10}}\). Do obliczenia \(\displaystyle{ \sin }\) używamy jedynki trygonometrycznej, tj. \(\displaystyle{ \sin^2 +\cos^2 =1}\) czyli \(\displaystyle{ \sin =\frac{13}{5 sqrt10}}\).
Skoro zostało powiedziane, że dane wektory mają wspólny początek, to nie istotne gdzie on się znajduje, dlatego weźmy sobie A(0,0), aby nasze obliczenia były łatwiejsze:).
Musimy obliczyć \(\displaystyle{ a=|AB|, b=|AD|}\). Widzimy więc, że potrzebne nam będą puntky B i D. Obliczamy je ze wzoru \(\displaystyle{ \vec{AB}=\[x_{B}-x_{A}, y_{B}-y_{A}\]}\), gdzie podstawiamy współrzędne punktu A. Otrzymujemy współrzędne punktu B(7,1) oraz D(2,4). Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka \(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}}\). Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |AB|=5 \sqrt2, |AD|=2 \sqrt5}\).
Mając już wszystkie potrzebne nam dane, podstawiamy je do wzoru na pole równoległoboku i otrzymujemy, że pole to jest równe 26.

Aż tak straszne to nie może być.

Pole równoległoboku określonego przez dwa wektory u=(a,b), v=(c,d) jest równe:
s = |ad - bc|

w tym przypadku: s = |7*4 - 1*2| = 26