Matematyka.pl

Niech a,b to beda liczby naturalne. Prostokat o bokach a, b podzielono - prostymi rownoleglymi bo boków na kwadraty jednostkowe. Przez wnetrza ilu kwadratów przechodzi przekatna prostokata?
* To samo w wersji przestzrennej- mamy prostopadloscian o bokach a,b,c i rozcinamy go na kostki szescienne jednostkowe, ?!

\(\displaystyle{ (a,b)=d = \NWD(a,b)}\)

Można zauważyć z obserwacji, że przekątna wewnątrz kwadratu nie przechodzi przez punkty kratowe wtedy, gdy

\(\displaystyle{ d=1}\)

a dla dowolnych a, b będzie osiągać punkty kratowe tam , gdzie będzie:

\(\displaystyle{ l \cdot \frac{a}{d} , l \cdot \frac{b}{d} , l=1,2,3,...,d}\)

więc dla podprostokąta o bokach:

\(\displaystyle{ \frac{a}{d} ,\frac{b}{d}}\) wystarczy zliczyć wszystkie kwadraty pionowo i poziomo i odjąć jeden(bo się powtarza), żeby otrzymać szukaną ilość kwadratów, przez które przechodzi przekątna, więc mamy:

\(\displaystyle{ \frac{a}{d}+\frac{b}{d}-1}\)

więc ogólnie będzie:

\(\displaystyle{ d \cdot \left( \frac{a}{d}+\frac{b}{d}-1\right) =a+b-(a,b)}\)

Jak widać zaczynam odkopywać trupy, które ktoś zakopał...(nie powiem kto bo świnie ryją)